Généralités sur les chaînes d’algèbres

Nous rappelons dans la Section I.1 la définition que nous utiliserons de chaînes d’algèbres (ou de groupes), et de présentations par générateurs et relations d’une chaîne d’algèbres. Nous donnons en- suite la définition de présentation locale, de présentation stationnaire et de présentation stationnaire retardée pour une chaîne d’algèbres. Plusieurs exemples de telles chaînes sont présentés. Nous rappe- lons ensuite ce que sont les règles de branchement d’une algèbre par rapport à une sous-algèbre, et étudions les connections entre les règles de branchement pour une chaîne d’algèbres et les sous-algèbresDans la Section I.2, nous présentons des définitions et résultats standards sur les diagrammes de Bratteli et leurs produits, ainsi que leurs connections avec la théorie des représentations des chaînes d’algèbres. Nous traitons en détail le cas du graphe de Young (le diagramme de Bratteli de la chaîne des groupes symétriques) et de ses puissances. Ces résultats seront explicitement utilisés dans le Chapitre II, car les puissances du graphe de Young s’avèreront être les diagrammes de Bratteli associés aux chaînes des algèbres de Hecke cyclotomiques. Nous dessinons, comme exemples, les débuts des diagrammes de Bratteli pour les chaînes des groupes symétriques et des groupes alternés, ainsi que le début du carré du graphe de Young.

La Section I.3 concerne les chaînes de groupes. Nous rappelons le principe de l’algorithme de Coxeter–Todd, qui a été donné dans [22], pour un groupe G et un sous-groupe H, et expliquons comment obtenir, à partir du résultat de l’algorithme, une forme normale pour les éléments du groupe G. Nous illustrons l’utilité de l’algorithme dans le cas de la chaîne des groupes symétriques ; nous expliquons en détail sa réalisation, ainsi que son utilisation pour prouver la présentation standard du groupe symétrique et pour obtenir une forme normale.

Présentations par générateurs et relations d’une chaîne d’algèbres.

Soit F l’algèbre libre (sur C) engendrée par des éléments a(Rappelons que l’algèbre CG d’un groupe G est formée par l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de G à coefficients complexes ; la loi de multiplication dans CG provient de la loi de multiplication de G étendue par linéarité.)= {e}, le groupe réduit à l’élément neutre. Dans la suite de cette Section, nous donnons les définitions pour les chaînes d’algèbres ; les définitions sont similaires dans le cas des chaînes de groupes. L’étude de la chaîne de groupes (I.1.2) peut être remplacée par l’étude de la chaîne des algèbres de groupes, et la multiplication dans F provient de la concaténation des mots étendues par linéarité). Soit R un ensemble d’éléments de F. Par définition, on dit qu’une algèbre A est engendrée par les éléments aavec l’ensemble de relations définissantes R lorsque A est isomorphe au quotient de F par l’idéal engendré par les éléments de R. Nous dirons souvent que A est l’algèbre engendrée par les éléments aNous travaillerons dans ce Chapitre sur le corps des nombres complexes C.Nous notons N l’ensemble des entiers positifs ou nuls, et Z l’ensemble des entiers.Pour un espace vectoriel (complexe) V , notons End(V ) l’algèbre des endomorphismes de V nous présentons le cadre théorique commun aux objets étudiés par la suite dans cette thèse, à savoir les chaînes ascendantes d’algèbres et de groupes. Ce Chapitre a pour but de rappeler certaines définitions et d’exposer des résultats standards, qui seront ensuite utilisés dans les Chapitres suivants. Il ne contient pas de résultats nouveaux..Nous notons M at(n), n ≥ 0, l’algèbre des matrices carrées de taille n avec des entrées complexes.

Présentations locales et stationnaires

Nous noterons symboliquement par {R} une chaîne de relations, comme dans (I.1.4), pour la chaîne (I.1.5).et {R}, de la chaîne d’algèbres (I.1.5) est locale lorsqu’il existe un entier non-négatif kle plus petit entier non-négatif vérifiant la propriété ci-dessus. On dit que la présen- tation est locale de profondeur ket {R}, munit une chaîne d’algèbres d’une structure de chaîne stationnaire. Ceci implique que, pour tout p, q ∈ N, les relations définissantes concernant les générateurs xsont vérifiées lorsqu’on effectue les remplacements x. Ainsi, il est facile de voir que, quitte à rajouter des relations définissantes qui ne modifient pas les structures d’algèbres, il est possible d’obtenir une présentation stationnaire (en gardant les mêmes générateurs).engendrée par x. Mais, bien que la relation concernant seulement le générateur x et la relation concernant seulement le générateur y soient les mêmes, il n’est pas vraie que la sous-algèbre de ALes notions de stationnarité peuvent être affaiblies quelque peu, pour prendre en compte la situation où la stationnarité n’est effective qu’à partir d’un certain niveau de la chaîne.