La Transformée de Fourier à court Terme (TFCT)

L’idée de la TFCT est de partager le signal non stationnaire en fractions supposées stationnaires. Pour chaque fraction temporelle, une transformée de Fourier (FFT) est appliquée. Le signal est découpé au moyen d’une fenêtre (« g ») où l’indice 𝜏 représente le positionnement temporel de cette fenêtre et donc le positionnement du spectre correspondant (voir figure II.2). La formule suivante résume le principe : 𝑆𝜏 (𝑓) = ∫ 𝑠(𝑡). 𝑔(𝑡 − 𝜏). 𝑒−𝑗2𝜋𝑓(𝑡−𝜏)𝑑𝑡 … . (𝐼𝐼. 5) +∞ −∞ Où 𝜏 représente le paramètre de localisation de la fenêtre g. 𝑆𝜏 (𝑓) correspond au spectre du signal s autour de 𝜏. f est le paramètre de fréquence. Nous voyons clairement qu’en suivant l’axe des temps, la TFCT met en évidence l’ordre des deux fréquences qui interviennent dans le signal. En comparant les deux figures (Figure II.3 et Figure II.4), on remarque que, plus le nombre de points dans un sous-intervalle est choisi petit, plus il est facile de localiser sur l’axe des temps la position qui correspond au changement de la valeur de fréquence et plus il est difficile de localiser sur l’axe des fréquence la position des deux pics du fait de largeur des lobes principaux. Ce traitement fait l’hypothèse de stationnaires durant la durée de la fenêtre g quelle que soit la partie du signal considéré. La longueur de la fenêtre est cependant choisie pour respecter cette hypothèse. Ce choix influence directement les propriétés de résolution de la composition ; plus la fenêtre g est petite, plus la résolution temporelle est meilleure mais plus la résolution fréquentielle est mauvaise. Si une haute résolution fréquentielle est nécessaire alors une longue fenêtre temporelle g sera utilisée et il sera difficile de respecter les hypothèses de stationnarité. La forme, la longueur de cette fenêtre ainsi que le pas d’incrémentation sont des paramètres fixés avant l’analyse. Ils présupposent une bonne connaissance à priori du signal à analyser. Il est donc évident que la majeure limitation de la TFCT est la résolution tempsfréquence fixe. Ce qui a conduit à trouver de nouveaux outils ‘flexibles’ pour résoudre ce problème.

La Décomposition Modale Empirique

En 1988, la décomposition modale empirique Mode Décomposition (EMD), une nouvelle méthode d’analyse du signal a été proposée par N.E.Huang. Cette méthode a pour particularité de n’être définie que par un algorithme et, bien que sans fondements théorique, elle s’avère très efficace. Des recherches sont effectuées pour tenter de justifier la méthode. La méthode EMD a pour objective de décomposer des signaux en différentes modes ayant une bonne signification physique. Cela veut dire notamment que la connaissance de ces modes permet de comprendre de manière intuitive le contenu fréquentiel du signal. Les méthodes classiques décomposent un signal sur une base de fonctions propre à la méthode, qui sont donc indépendantes du signal étudié. Ainsi, par exemple, la transformée de Fourier décompose un signal en une somme de sinusoïdes. La méthode des ondelettes, quant à elle, utilise pour fonctions de base les “ondelettes“, qui sont des fonctions localisée : la signification physique des différents modes est donc déjà meilleure. La méthode EMD, au contraire, à une approche adaptative : pour chaque signal étudié, une nouvelle base de fonctions est construite. Ainsi ces modes décriront mieux le signal. Ces modes, appelés IMFs (Intrinsic Mode Function), ont pour seule caractéristique d’être de moyenne nulle. Définition De L’EMD L’EMD est définie par un processus appelé tamisage (sifting) permettant de décomposer le signal en contribution de base appelée modes empirique ou IMF (Intrinsic mode function).

La décomposition est locale, itérative, séquentielle (fine to coarse approch) et entièrement pilotée par les données (data driven approch). L’EMD considère les signaux à l’échelle de leurs oscillations locales, sans que celles-ci soient nécessairement harmoniques au sens de Fourier. L’extraction des IMF est nonlinéaire, mais leur recombinaison pour la reconstruction exacte du signal est linéaire. En se basant essentiellement sur les variations(ou oscillations naturelles) du signal, l’EMD permet une interprétation des phénomènes physique présents. En plus de sa simplicité de mise en oeuvre informatique et de sa capacité à décrire ponctuellement et de manière instantanée les phénomènes fréquentiels non résolus par l’analyse de Fourier, l’EMD est bien adaptée à l’étude des signaux non-stationnaires et/ou générés par des systèmes non-linéaires. Cependant, l’EMD est simplement définie par un algorithme et elle ne possède pas de cadre théorique pour le moment. Dans la plupart des cas, les études (performance, analyse …) menées sur l’EMD se font avec des simulations numériques extensives et dans des conditions contrôlées.

Conclusion Générale

Dans ce mémoire, nous avons présenté deux méthodes de débruitage du signal phonocardiogramme (PCG) en utilisant la transformée en ondelette discrète et la décomposition modal empirique (EMD). Les résultats obtenus, ont été comparés et évalués. Après avoir présenté les deux méthodes classiques d’analyse de signaux à savoir :

– La transformée de Fourier ;

– La transformée de Fourier à court terme (STFT) ;

Nous avons démontré que la représentation fréquentielle obtenue par transformation de Fourier (TF) fournit des informations auxquelles nous n’avons pas accès temporellement. Par contre, la majeure limitation de la TFCT est la résolution tempsfréquence fixe. Ce qui a conduit à trouver de nouveaux outils ‘flexibles’ pour résoudre ce problème. L’analyse en ondelettes constitue une suite logique des travaux abordés dans le cadre de l’analyse temps-fréquence. L’apport de cette technique est l’utilisation d’une famille d’atomes temps-fréquence obtenue en dilatant et en translatant une ondelette analysante. La décomposition modale empirique est une méthode d’analyse des signaux qui est à la fois attractive et problématique. Attractive, car intuitive, flexible, non paramétrique et auto-adaptative ; mais problématique aussi car fortement non linéaire, d’interprétation délicate et définie seulement par un algorithme difficilement réductible à l’analyse. Elle repose sur une hiérarchie d’échelles « naturelles » extraites itérativement en fonction du signal analysé. Dans le cadre de l’analyse et le débruitage du signal PCG, une étude comparative entre la décomposition modale empirique (EMD) et la transformé en ondelettes discrète a été faite. Les résultats obtenus montrent que le débruitage par la transformée en ondelette discrète est meilleur par rapport à la décomposition modale empirique.