Généralités et quelques notions probabiliste

Généralités et quelques notions probabiliste

Dans ce chapitre, nous rappelons quelques notions et certaines propriétés de la théorie des probabilités que nous utiliserons dans cette thËse. Nous commenÁons tout díabord par rappeler quelques déÖnitions de base (variables aléatoires discrËtes, Fonction de répartition, moments, fonction génératrice). Ensuite nous donnons quelques concepts nécessaires a líétude de líanalyse de survie, telles que les fonctions de survie et de risque, Comme illustration, nous introduisons la notion díestimateur et nous déÖnissons les propriétés essentielles que doit vériÖer un estimateur. EnÖn, dans les situations o˘ il níy a pas díestimateur évident, on est amené à recourir à une méthode de construction díun estimateur, les deux méthodes que nous présenterons ici étant celles du maximum de vraisemblance et des moments. 15 Nous supposerons tout au long de cette thËse que X est une variable aléatoire positive ou nulle discrËte. 1.1 variables aléatoires discrËtes La théorie des probabilités a pour objet líétude des phénomËnes aléatoires ou du moins considérés comme tels par líobservateur. Pour cela on introduit le concept díexpérience aléatoire dont líensemble des résultats possibles constitue líensemble fondamental, noté habituellement . On parle de variable aléatoire (abréviation : v.a.) lorsque les résultats sont numériques, cíest-à-dire que est identique à tout ou partie de líensemble des nombres réels R: DéÖnition 1.1 les variables aléatoires discrËtes pour lesquelles líensemble des résultats possibles est un ensemble discret de valeurs numériques x1; x2; :::; xn; ::: Öni ou inÖni (typiquement : líensemble des entiers naturels).

Fonction de répartition

La fonction de répartition est líinstrument de référence pour déÖnir de faÁon uniÖée la loi de probabilité díune variable aléatoire quíelle soit discrËte ou continue. Si cette fonction est connue, il est possible de calculer la probabilité de tout intervalle et donc, 16 en pratique, de tout évËnement. Cíest pourquoi cíest elle qui est donnée dans les tables des lois de probabilité. DéÖnition 1.2 Soit X une variable aléatoire, on appelle fonction de répartition de X, que líon note FX, la fonction déÖnie sur R par : FX(x) = P(X  x): La valeur prise par la fonction de répartition au point x est donc la probabilité de líévËnement .