Fraction continue périodique et Equation de PELL

Définitions

Définition 4.1.1 (Fraction continue périodique). Une fraction continue simple infinie ra1, a2, a3, . . .s est dite périodique s’il existe un entier j et un entier k tel que pour tout l ¡ j on a al Définition 4.1.2. On appelle irrationnel quadratique tout nombre irrationnel solution d’une équation diophantienne de degré 2 Donc par définition les irrationnels quadratiques sont de la forme a  ? b c avec pa, cq P Z  Z  et b P N  , non carré parfait. 

Irrationnel purement périodique et théorème de Galois

Définition 4.2.1 (irrationnel purement périodique)

Un irrationnel x est dit purement périodique si son développement en fraction continue est une fraction continue périodique o`u j  0 et dans ce cas on a x  ra1, a2, . . . , aks Exemple 4.2.1 (irrationnel purement périodique). φ  1 Définition 4.2.2 (conjugué d’un irrationnel quadratique). Soit α un irrationnel quadratique vérifiant l’équation ax2 avec a  0 et b 2  4ac ¡ 0 le conjugué de α noté α 1 est l’autre irrationnel qui vérifient l’équation (4.1) Définition 4.2.3 (irrationnel quadratique réduit). On dit qu’un irrationnel quadratique α est réduit si α ¡ 1 et si son conjugué α 1 vérifie 1   α 1   0.Les deux théorèmes suivants seront utilisés dans la suite surtout pour démontrer la réciproque du théorème de Lagrange. Nous allons voir que tout irrationnel quadratique réduit est un irrationnel purement périodique. Théorème 4.2.1. Si a1, a2, . . . , an sont des nombres entiers positifs le nombre irrationnel α ¡ 1 représenté par la fraction continue purement périodique α  ra1, a2, . . . , ans