Formule de Pieri pour les polynômes de Grothendieck

Nous avons vu l’importance de l’anneau de Grothendieck dans les problème de géométrie algébrique. Cet anneau est isomorphe à un anneau de polynômes où les variétés de Schubert sont représentées par les polynômes de Grothendieck (cf. para- graphe 3.3.2). La structure multiplicative de ces polynômes est donc particulière- ment intéressante à étudier. Dans le cas de l’anneau de cohomologie de la Grass- mannienne, cette structure est donnée par la formule de Pieri sur les fonctions de Schur que nous avons décrites dans le paragraphe 3.2.3. On cherche à obtenir une description combinatoire similaire pour les polynômes de Grothendieck. La formule de Pieri donne le produit d’une fonction de Schur par une fonction complète. Un équivalent pour les polynômes de Grothendieck est le produitComme dans le cas de l’anneau de cohomologie, on travaille dans un quotient de l’anneau des polynômes par les fonctions symétriques. Plus précisément, on identifie les fonctions symétriques en x à des fonctions symétriques en y. Dans [Las90, Théorème 6.4], Lascoux décrit le produit GσGsπ soient bien connues et relativement simples, il n’existe pas de résultat général permettant de développer un produit qui mélange les deux types d’opérateurs. Comme on l’a vu avec l’exemple (4.11), on obtient empiriquement des coefficients ±1. Ce résultat s’explique par une interprétation combinatoire donnée dans un cadre plus général par Lenart et Postnikov [LP07, Corollaire 8.2].

Ce théorème nous dit que le développement de (4.12) s’exprime en termes d’énumérations de chaînes sur l’ordre de Bruhat. Sottile et Lenart [LS07] avaient déjà obtenu un résultat similaire dans le cas des polynômes de Grothendieck sim- ples. La démonstration de Lenart et Postnikov ne s’appuie pas sur le théorème de Lascoux 4.0.2 et leur résultat s’applique à tous les groupes de Coxeter. Dans ce chapitre, nous proposons une démonstration combinatoire de ce théorème dans le cas du type A. Surtout nous donnons un résultat plus fort qui permet d’exprimer la somme en termes non plus énumératifs mais structurels.Le développement de (4.12) correspond donc à une somme sur un intervalle de l’ordre de Bruhat. Dans l’exemple donné en (4.11), la permutation η est égale à 156432 et la somme se fait sur l’intervalle [136254, 156432].dans [Pon13c]. L’interprétation en termes de produit de polynômes est propre aux polynômes de Grothendieck. Cependant, le développement du produit des opéra- teurs ˆK puis d’un changement de base. Dans le paragraphe 4.2, nous reformulons le résul- tat du théorème 4.0.3 pour étudier de façon plus précise la structure des chaînes de l’ordre de Bruhat qui apparaissent dans la somme. On donnera en particulier une preuve directe du théorème 4.0.3. Par cette nouvelle description, nous don- nons de façon explicite la construction de la permutation η(σ, k). Nous prouvons dans le paragraphe 4.3 qu’elle est bien l’unique élément maximal de l’ensemble de sommation et donc que la somme se fait sur un intervalle. Le paragraphe 4.4 est dédié à deux problèmes annexes : la variation de la permutation η(σ, k) quand k varie et la généralisation du développement de (4.12) aux autres sous-groupes paraboliques de l’algèbre 0-Hecke.

Le théorème 4.0.3 nous dit que le développement de (4.12) dans la base des K est une somme de permutations avec coefficients ±1 en fonction de la longueur de la permutation. On peut donc directement considérer cette somme comme un ensemble. Le but de ce paragraphe est de prouver que l’ensemble est clos par intervalle.Démonstration. On a par définition que {ζ1, . . . , ζk} = {σ1, . . . , σk}. Cela signi- fie que l’intervalle [σ, ζ], bien qu’il soit inclus dans Sn, est en bijection avec un intervalle de Sk × Sn−k. On appelle ϕ la bijection du coset σ(Sk × Sn−k) vers Sk × Sn−k. On a que ϕ(σ) = (σ′, σ′′) où σ′ et σ′′ sont les standardisés de respec- tivement σ1 . . . σk et σk+1 . . . σn. Par ailleurs, ϕ(ζ) = (ω′, ω′′) où ω′ et ω′′ sont les permutations maximales de respectivement Sk et Sn−k. Enfin, une décomposition réduite v de ζ−1σ est un chemin dans l’ordre faible entre ζ et σ. En particulier, elle ne contient pas la transposition sk et se décompose donc en deux chemins v′.