Formule de Black et Scholes

Arbitrage et Valorisation

Stratégie de financement

Soit Z une variable aléatoire FT – mesurable. peut-on réaliser Z avec une stratégie de financement ? Précisons le vocabulaire : Nous supposons qu’il y a d actifs risqués dont les prix S i , i ∈ 1, …, d, sont supposés être des processus d’Itô dSi (t) = µ i (t)dt + σ i (t)dB(t), où les coefficients µ et σ vérifient les conditions (4) – paragraphe (2), Chapitre 3. L’actif 0 est un actif sans risque dSo t r(t) = S o t (t)dt, So (0) = 1, où r(t) est un processus adapté positif vérifiant R T 0 r(t)dt < ∞ p.s.. L’actif 0 est dit sans risque même si (r(t) est un processus stochastique car S o t est connu dès que r est connu : S o t = exp{ R t 0 r(s)ds}. Par contre S j t n’est pas connu explicitement, même si les coefficients µ et σ le sont, le Brownien étant une source d’aléa. On note St le vecteur des prix de (d + 1) actifs St = (S o t , S1 t , …, Sd d ) T , et S ∗ t = (S 1 t , …, Sd t ) d le vecteur des prix des actifs risqués. Si θ = (θ o , …, θd ) représente le nombre d’actions de chaque type.

Formule de Black et Scholes 

Cas unidimensionnel On se place dans un marché financier composé d’un actif sans risque dont le prix S o t obéit à l’équation différentielle ½ dSo t = rSo t dt, r constante positive S o o = 1, , et d’un actif avec risque dont le prix S 1 t vérifie l’équation différentielle stochastique ½ dS1 t = µS1 t dt + σS1 t dBt S 1 o > 0, , où µ et σ sont deux constantes, σ non nulle et Bt un Brownien reél. On a évoqué au paragraphe 4.1 que l’existence d’une probabilité sous laquelle 45 le prix actualisé S 1,α t := e −rtS 1 t est une martingale est liée à l’absence d’opportunité d’arbitrage. Montrons que, dans ces conditions une telle probabilité existe. Une application immédiate du lemme d’Itô montre que dS1,α t = S 1,α t [(µ − r)dt + σdBt ]. Le théorème de Girsanov va nous permettre de transformer S 1,α t en une martingale. Soit Lt le processus vérifiant dLt = −(µ − r)σ −1LtdBt Lo = 1. Le théorème de Girsanov montre que sous la probabilité Q définie sur FT par dQ dP = LT , le processus S 1,α t vérifie dS1,α t = S 1,α t σdB∗ t , où B∗ t = Bt+(µ−r)σ −1 t est un Q -mouvement Brownien. En utilisant la première partie du théorème de Girsanov qui assure que la solution de dXt = XthdBt est une martingale si h est borné, on obtient que S 1,α t est une Q-martingale. L’actif sans risque actualisé a un prix constant égal à 1 donc c’est aussi une Q-martingale ! Remarquons que S 1,α t = exp » σB∗ t − 1 2 σ 2 t # , ce qui entraîne que S 1,α t (donc S 1 t ) est positif. Sous Q, le prix de l’actif à risque vérifie dS1 t = S 1 t (rdt + σdB∗ t ) On appelle Q la probabilité ”neutre du risque ” ou risque-neutre, car sous Q les deux actifs ont le même rendement r. Théorème 5.2.1. Pour un modèle à deux actifs dSo t = rSo t , dS1 t = µS1 t dt + σS1 t dBt , il existe une probabilité Q équivalente à P telle que sous Q les prix actualisés sont les martingales. On se donne une variable aléatoire Z = g(S 1 T ), positive FT -mesurable et on désire trouver son prix implicite. Le cas g(x) = (x−K)+ = max(x−K, 0) correspond à celui d’une option européenne de prix d’exercice K. Rappelons la définition suivante :