Formulation de l’équation d’advection-diffusion et méthodes de modélisation de la pollution atmosphérique

Formulation de l’équation d’advection-diffusion et méthodes de modélisation de la pollution atmosphérique

Formulation de l’équation d’advection-diffusion La dispersion de polluants dans l’atmosphère est régie par une EDP non linéaire : l’équation d’advection-diffusion. C’est la combinaison de deux processus principaux d’advection et de diffusion qui méritent d’être définis dès le début de cette section. L’équation d’advection-diffusion représente l’évolution de la concentration spatio-temporelle d’une substance dans un fluide (gaz ou liquide).[11] D’un côté, l’advection c’est le transport horizontal du nuage de polluants, conditionné principalement par la vitesse et la direction du vent. De l’autre, la diffusion c’est la dilution de ce nuage par mélange avec l’air ambiant, c’est-à-dire le déplacement relatif de chaque particule par rapport à son centre de gravité. Notamment, l’état de stabilité de l’atmosphère ainsi que le gradient vertical de température gouverne le phénomène de diffusion. Dans cette section, notre tâche est de formuler l’équation d’advection-diffusion. Pour y parvenir, les quelques sous-sections qui suivent sont indispensables. 

Concentration d’une substance dans un fluide

Considérons une espèce E transportée par un fluide F. Pour décrire la répartition de E dans F, on utilise la notion de concentration, qui exprime à un endroit et un instant donnés, la quantité de l’espèce E transportée par unité de l’espèce F : C(x, y, z, t) = Quantité de l’espèce E Quantité de l’espèce F (2.1) La concentration est la notion fondamentale dans l’étude de la dispersion de polluants. La plupart des effets, sanitaires ou environnementaux, dus aux polluants rejetés, dépend 10 CHAPITRE 2 11 Dénomination Grandeur pour exprimer la quantité de l’espèce Grandeur pour exprimer la quantité du fluide Unités de concentration Concentration volumique Volume Volume m3/m3 Concentration massique Masse Masse Kg/Kg Masse volumique Masse Volume Kg/m3 Volume spécifique Volume Masse m3/Kg Concentration molaire Nombre de moles Nombre de moles ppm, ppb Activité volumique Activité Volume Becquerel/m3 Table 2.1 – Liste de définitions de concentration. directement du niveau de concentration observé. C’est pourquoi il est primordial de détailler cette notion. D’après des études bibliographiques, plusieurs grandeurs physiques permettent d’exprimer la quantité de l’espèce ou du fluide : la masse, le volume, le nombre de moles, etc. On obtient alors une multitude de définitions différentes pour la concentration, avec des relations de passage d’une définition à l’autre.[11] Dans le cadre de cette étude et dans tout ce qui va suivre, nous utilisons la définition de la concentration suivante : C = Masse de l’espèce Volume du fluide = M v [Kg] [m3 ] (2.2) C’est le rapport de la masse M d’une substance au volume v du fluide.

Concepts d’advection

L’advection est un phénomène purement macroscopique (mélange de masses d’air) dû au mouvement de l’air, qui disperse le polluant.[12] Elle correspond au déplacement de la substance par l’écoulement. On peut citer comme exemple le transport d’une propriété telle que l’humidité, la température, la pollution, par un fluide, tel que l’air ou l’eau. Généralement, ce processus porte sur le mouvement à dominance horizontale. Un cas parfaîtement relatif à notre étude est le transport des fumées dégagées d’une usine à l’aide de l’air (vent). L’advection est due au mouvement de l’air, qui disperse le polluant. Pour une meilleure modélisation de la dispersion de polluants, la notion de concentration dans le temps et dans l’espace ne suffit pas. On a besoin d’introduire combien de  substance s’est déplacée d’un endroit à un autre. C’est pourquoi il importe de définir la notion de flux. Par définition, le flux d’une substance dans une direction donnée est la quantité qui passe à travers une section perpendiculaire à cette direction par unité de surface et par unité de temps.[13] Flux d’advection Le flux d’advection est issu du mouvement du fluide porteur. Dans notre cas, le fluide porteur est l’air (le vent). Equation d’advection pure Pour le phénomène d’advection pure, seul le flux d’advection est pris en compte. La relation très simple q = C · U (2.3) où C est la concentration de la substance et U la vitesse d’entrainement du fluide porteur, définit le flux d’advection. Moyennant cette relation, nous allons établir le bilan de flux à travers la section A pendant un temps dt et dans le volume V = ∆x · A , voir figure ci-dessous.