Cours forme générale du Théorème de Cauchy et applications, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

Intégrale curviligne
Définitions et propriétés

Définition 2.1 Un chemin C1−par morceaux d’un ouvert  de C est une application γ :
[a, b] −→ C1−par morceaux ([a, b] ⊂ R) :
1. γ est continue sur [a, b].
2. Il existe x0 = a < x1 < … < xn = b une subdivision de [a, b] telle que γ′ coincide sur ]xj , xj+1[ avec la restriction d’une fonction gj continue sur [xj , xj+1].
Exemple 2.2 [0, 1] −→ C, t 7−→ √t n’est pas C1−par morceaux.
Définition 2.3
1. • γ(a) s’appelle l’origine de γ et γ(b) est l’extremité de γ.
•γ− : [a, b] −→t 7−→ γ(a + b − t)est le chemin opposé de γ.
• γ∗ := {γ(t); t ∈ [a, b]} est l’image de γ.
2. Un lacet est un chemin C1−par morceaux tel que l’extremité coincide avec l’origine.
3. Soit γ1 : [a, b] → et γ2 : [c, d] →  deux chemins tels que γ1(b) = γ2(c). La juxtaposition de γ1 et γ2 est le chemin γ1 ∨ γ2 : [a, b + d − c] −→ donnée par t 7−→ γ1(t) si t ∈ [a, b] γ2(t + c − b) si t ∈ [b, b + d − c]
4. Soit γ : [a, b] → C un chemin C1−par morceaux et f : γ∗ → C une fonction continue.
L’intégrale de f le long de γ est Z
γ f(z)dz := Z b a f(γ(t))γ′(t)dt.
Propriétés 2.4
1. Z γ (f + λg)(z)dz = Z γ f(z)dz + λ Z γ g(z)dz pour tout f et g continues sur γ∗ et λ ∈ C.
2. Z γ− f(z)dz = − Z γ f(z)dz si f est continue sur γ∗ (par le changement de variable t 7→ a + b − t).
3. Z γ1∨γ2 f(z)dz = Z γ1 f(z)dz + Z γ2 f(z)dz pour tout f continue sur (γ1 ∨ γ2)∗.
Exemple 2.5 Si f(z) = z − z0 et γ(z0,r) : [0, 2π] −→ C t 7−→ z0 + reit l’application cercle de centre z0 et de rayon r (γ∗ (z0,r) = C (z0, r)) alors γ(z0,r) f(z)dz = Z 2π 0
Lemme 2.6 Soit γ : [a, b] → un chemin C1−par morceaux et f :
→ C une fonction qui admet une primitive F sur . Alors f(z)dz = F(γ(b)) − F(γ(a)).
Démonstration. Si γ est C1 alors f(z)dz = ba F′(γ(t))γ′(t)dt = F(γ(b)) − F(γ(a)).
Sinon, il existe une subdivision x0 = a < x1 < … < xn = b de [a, b] telle que γ est C1 sur ]xj , xj+1[.
Dans ce cas on a f(z)dz = nX−1 j=0  xj+1
F′(γ(t))γ′(t)dt = nX−1 j=0
F(γ(xj+1)) − F(γ(xj )) = F(γ(b)) − F(γ(a)).
Corollaire 2.7 La fonction z 7→ 1 n’admet pas de primitive sur tout ouvert qui contient un cercle C (0, r).
Par conséquent tout ouvert qui contient un cercle centré en 0, n’admet pas une détrmination continue du logarithme.
En effet, si elle admet une primitive F alors
2iπ = γ(0,r) dz = F(γ(0,r)(2π)) − F(γ(0,r)(0)) = 0
ce qui est absurde.
Définition 2.8 Soit γ : [a, b] → un chemin C1−par morceaux. La longueur de γ est Lγ := b a |γ′(t)|dt.

1 Fonctions holomorphes 
1.1 Définitions et propriétés
1.2 Étude d’un exemple
2 Intégrale curviligne 
2.1 Définitions et propriétés
2.2 Formules de Cauchy
3 Espace des fonctions holomorphes 
3.1 Principe des zéros isolés et singularités
3.2 Principe du maximum
3.3 Forme générale du Théorème de Cauchy et applications
3.3.1 Théorème de Cauchy
3.3.2 Applications
4 Exercices et Problèmes 
4.1 Énoncés
4.2 Solutions