Formalisme lagrangien et hamiltonien appliqué au champ

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Chromodynamique

Généralité sur la chromodynamique et l’interaction forte

La chromodynamique a été établie après plusieurs recherches qui ont conduit à divers découvertes expérimentales et construction théoriques [8], [10]. Nous citerons uniquement certains résultats importants. La Chromodynamique s’est construite suite à la construction du modèle des partons et du modèle des quarks. Ces deux modèles se complètent alors au sein de la chromodynamique : les partons ont été introduits suite à des résultats expérimentaux sur les diffusions profondément inélastiques de leptons sur un hadron. On identifiait des partons chargés et des partons neutres au sein des hadrons. Grâce au modèle des quarks découvert théoriquement, on a pu identifier les partons chargés aux quarks et par la suite les partons neutres aux gluons. La nécessité d’une cohérence interne dans le modèle des quarks a conduit à l’introduction du nombre quantique de couleur. En effet, pour expliquer le comportement des quarks au sein des hadrons, il a fallu admettre que chaque quarks existe dans trois états différents appelé état de couleur, on a appelé alors chacun de ces états de couleur rouge, vert et bleu. Mais les quarks, possédant une couleur ne peuvent pas être observée de manière isolée. Les seules particules observables sont les hadrons qui eux sont de couleur neutre ou blanc, en effet les couleurs des quarks dans un hadron sont toujours complémentaires : cette propriété est connu sous le nom de confinement des couleurs. L’introduction des couleurs a permis une description de
l’interaction forte à l’aide de la théorie des jauges. Le choix du groupe comme étant le groupe de jauge résulte des propriétés exigées pour les couleurs et de l’interaction forte.
Une autre propriété importante de l’interaction forte est le concept de liberté asymptotique qui signifie que l’intensité de l’interaction forte entre différents particules décroit lorsque les énergies mise en jeu augmentent et à haute énergie les particules sont quasiment libres. Ceci s’explique par le fait que la constante de couplage de l’interaction forte est une fonction décroissante de l’énergie. On subdivise souvent la chromodynamique, au moins en deux branches : la chromodynamique non perturbative et la chromodynamique perturbative. La chromodynamique perturbative comme l’électrodynamique se construit à l’aide de la théorie des perturbations en théorie quantique des champs, les résultats obtenus sont alors valables uniquement pour les cas dans lesquels la valeur de la constante de couplage est assez faible. La Chromodynamique non perturbative est en particulier utilisée dans les cas ou la chromodynamique perturbative n’est plus applicable. Dans l’étude que nous allons faire, nous nous contenterons d’établir l’expression de la densité lagrangienne de la théorie.

Densité lagrangienne de la chromodynamique

La chromodynamique peut être formalisée en tant que théorie de jauge dont le groupe de jauge est de couleur qu’on notera . Comme le groupe et son algèbre de Lie sont de dimension réelle huit, il existe dans la théorie huit champs de jauge qui s’identifient aux champs vectoriels des huit type de gluons. Les champs spinoriels dans la théorie se groupe en triplet de couleur. Il existe six types de triplets qui correspondent aux six saveurs de quarks. Notons le champ spinoriel correspondant à la
génération et couleur pour les quarks de type up (up, charm, top) et pour les quarks de type down (down, strange, beauty). Le nom des saveurs et des couleurs des quarks correspondant à cette notation que nous avons adoptée est donné explicitement dans le tableau ci-dessous (tableau ) :
Saveur Up Down Charm Strange Top Beauty Couleur
Rouge
Vert
Bleu
Suivant les résultats obtenus dans le paragraphe 3.4.2 la densité lagrangienne de la théorie dont le groupe de jauge est se déduit en exploitant , on obtient :
! »
! ! #
! » !
Les sont les champs de gluon et le paramètre est ici la constante de couplage et les sont les matrices de Gell-Mann.

Propriétés de l’interaction faible

Propriétés générales

L’interaction faible est l’interaction qui intervient dans la plupart des désintégrations subatomique et subnucleaire comme la désintégration beta des noyaux instables. La qualification de « faible » provient du fait que la constante de couplage de cette interaction et son intensité sont très faibles comparés à celles de l’interaction électromagnétique et de l’interaction forte. La portée de l’interaction faible est aussi faible, ceci est lié au fait que les bosons de jauge médiateurs de cette interaction sont des bosons vectoriels massifs. Les durées caractéristiques de l’interaction faible sont aussi assez élevées, en d’autre termes les processus faibles sont lents. Toutes les particules élémentaires du modèle standard, et par conséquent toutes les particules composites aussi, sont sensibles à l’interaction faible.
Les processus faisant intervenir l’interaction faible se caractérisent aussi par la présence de la violation de certaines symétries qui sont conservées dans les autres types d’interaction. En effet, l’interaction faible viole la symétrie correspondant à la parité , la symétrie correspondant à la conjuguaison de charge et leurs combinaisons Dans les désintégrations faibles, il y a aussi modifications des charges des particules et d’autres nombres quantique comme le charme, l’étrangeté et la beauté.

Désintégrations faibles et Isospin faible

Les exemples typiques de désintégrations qui font intervenir l’interaction faible sont les désintégrations et intervenant dans le desintegration des noyaux radioactifs beta. Ces désintégrations s’interprètent comme la transformation d’un neutron en un proton et inverssement :
Désintégration Désintégration Mais en écrivant le neutron comme étant la combinaison de deux quarks et un quark , et le proton comme combinaison de deux quarks et un quark les desintegrations ci-dessus s’interprètent au niveau des quarks, dans le modèle standard comme resultant de la transformation d’un quark en un quark et vice versa faisant intervenir les bosons vectoriels ou qui se desintègre après en deux leptons :
Des transformations analogues peuvent avoir lieu dans chaque génération du modèle standard. Ceci a suggéré la classification des particules en doublet et l’introduction de l’isospin faible. Par exemples pour les leptons, on peut définir les doublets $ % & . Mais les découvertes expérimentales sur l’interaction faible ont montré que cette interaction affecte uniquement la partie gauchère d’une particule, c’est-à-dire que seule la partie gauche du spineur [voir ] représentant la particule est affectée. On note alors
‘ $les doublets en question et même chose pour les autres générations. La $’
construction de l’interaction faible en tant que théorie de jauge se base sur l’introduction de l’isospin faible. On montre que le groupe de jauge adéquat pour la théorie est un groupe qu’on note . La base de l’algèbre de Lie qu’on utilise alors est la base orthonormalisée définie en . L’action du vecteur de base diagonale * sur les doublets gauchers( définis) ci-dessus permet de préciser la définition de l’isospin faible pour chaque particule. Par exemple pour le doublet $ , on voit que :
* + ,
$’ ‘
On en déduit que est vecteur propre de avec la valeur propre et vecteur propre avec la valeur propre . Par définition, est alors la valeur de la troisième composante de l’isospin faible du neutrino gaucher et celle de l’électron gaucher. Ces définitions s’étendent aux autres doublets gauchers pour tous les générations mais pour les quarks d’autres précisions sont nécessaires en particulier en ce qui concerne le mélange des familles.

Table des matières

Liste des tableaux
Notations et systèmes d’unités utilisés
Introduction
PARTIE I : THÉORIE DES CHAMPS
1- Généralités sur les particules et les interactions
1.1 Particules et champs
1.2 Interactions
2 – Classification des champs
2.1 Champs scalaires
2.2 Champs vectoriel
2.3 Champ spinoriel
3- Formalisme lagrangien et hamiltonien appliqué au champ
3.1 Equations d’Euler-Lagrange pour les champs
3.2 Symétrie continue et loi de conservation
3.3 Symétrie de jauge et interaction
3.3.1 Théorie de jauge abélienne
3.3.2 Théorie de jauge non abélienne
3.3.3 Cas d’une théorie de jauge avec un groupe de jauge
3.3.4 Cas d’une théorie de jauge avec groupe de jauge
4- Quantification canonique des champs libres
4.1 Quantification canonique
4.2 Espace des états
4.3Quantification des champs scalaires libres
4.4Quantification des champs vectoriels libres
4.5 Quantification du champ spinoriel libre
4.5 Espaces des états du champ quantique
5- Modèle standard
5.1 Généralités
5.1.1 Les particules élémentaires du modèle standard
5.1.2 Les interactions décrites dans le modèle standard
5.2 Chromodynamique
5.2.1 Généralité sur la chromodynamique et l’interaction forte
5.2.2 Densité lagrangienne de la chromodynamique
5.3 Propriétés de l’interaction faible
5.3.1 Propriétés générales
5.3.2 Désintégrations faibles et Isospin faible
5.3.3 Mélange des quarks et matrice CKM
5.4 Brisure de symétrie et mécanisme de Higgs
5.4.1 Brisure d’une symétrie globale
5.4.2 Brisure d’une symétrie locale et mécanisme de Higgs
5.5 Théorie électrofaible
5.5.1 Densité lagrangienne
5.5.2 Secteur bosonique
5.5.3 Termes de Yukawa et masse des fermions
5.5.4 Interactions électromagnétique et faible des fermions
5.5.5 Densité lagrangienne en fonction des champs physiques
5.6 Modèle Standard
5.6.1 Densité lagrangienne en fonction des champs physiques
5.6.2 Les paramètres libres de la théorie
5.6.3 Limites du modèle standard
PARTIE II: ETUDE DES CHAMPS LIES DANS LA REPRESENTATION DE HEISENBERG
6 – Dynamique des champs liés
6.1 Equation d’évolution des champs dans le cas d’une théorie de jauge
6.1.1 Equation d’évolutions des champs spinoriels
6.1.2 Equations d’évolutions des champs de jauge
6.2 Invariants dynamiques dans le cas d’une théorie de jauge
6.2.1 Energie et impulsion
6.2.2 Moment cinétique
6.2.3 Charges associées à la symétrie de jauge
6.3 Electrodynamique
6.3.1 Equation d’évolution des champs et expression des invariants dynamiques.
6.3.2 Electrodynamique en jauge de Coulomb
6.4 Equations d’évolutions des champs physiques du modèle standard..
7–Quantification canonique et étude dans la représentation de Heisenberg
7.1 Opérateur champ et états
7.1.1 Propriétés générales et expressions d’un opérateur champ
7.1.2 Cas d’un opérateur champ scalaire
7.1.3 Cas d’un opérateur champ vectoriel
7.1.4 Cas d’un opérateur champ spinoriel
7.1.5 Etude d’un système de champs en interactions et espace des états
7.1.6 Etats stationnaires
7.2 Etude du cas de l’électrodynamique
7.2.1 Quantification canonique des champs
7.2.2 Espaces des états
7.2.3 Equations d’évolution
7.2.4 Etude dans la jauge de Coulomb
7.3 Etude sur le cas d’une théorie de jauge et du modèle standard
7.3.1 Cas d’une théorie de jauge .
7.3.2 Cas du modèle standard
CONCLUSION
ANNEXES
A1- Valeurs de quelques principaux paramètres du modèle standard
A2- Théorème de Wick
REFERENCE