Formalisation et limites de capacités

Capacités des systèmes de channel overloading

Nous allons nous attacher à déterminer la surcharge maximale qui peut être atteinte avec une constellation donnée sur canal AWGN par le biais de la limite de Shannon, lorsque l’on suppose que tous les utilisateurs se voient allouer la même puissance (hypothèse EAE (Equal Average input Energy)). Nous verrons ensuite comment peut s’exprimer la capacité globale maximale (appelée “sum capacity” dans [126]) des systèmes m-OCDMA (multiple OCDMA), dont nous déduirons l’efficacité spectrale.

Limites de surcharge relatives à différentes modulations à BER fixé

Pour visualiser la limite de surcharge, il est intéressant de se référer au positionnement des schémas de modulation conventionnels par rapport à la courbe de capacité normalisée montrée figure 2.4, qui représente le nombre maximal de bits d’information par symbole (efficacité spectrale) pour un rapport Eb/N0 donné (Eb/N0 désigne le rapport entre l’énergie par bit et la densité spectrale de bruit). La capacité normalisée du canal est donnée par : CW E N == + η η 1 2 log 1 2 2 0 ( ) b (2.6) dans le cas de symboles réels, et par ( ) 2 1 0 C W =η = log +η Eb N (2.7) dans le cas de symboles complexes. On a également situé différentes modulations, lorsque le rapport Eb/N0 correspond à un taux d’erreur binaire (BER, pour Bit Error Rate) de 10-5 (on suppose que le taux d’erreur de 10-5 est infiniment petit). Considérons une modulation comprenant 2q Q = points de constellation, et le rapport Eb/N0 associé fournissant un BER égal à 10-5. Si η désigne le nombre maximal de bits par symbole pouvant être transmis à cette valeur de Eb/N0, le facteur de surcharge maximal est donné par OF q = − η 1. (2.8) La modulation BPSK, qui transmet un bit par symbole, est située sur la figure à Eb/N0 = 9,6 dB. La courbe de capacité associée au cas de symboles réels prend une valeur de 2,865 à cette valeur de Eb/N0, ce qui signifie que 2,865 bits d’information par symbole peuvent être transmis avec une valeur de BER arbitrairement petite. Si on désigne la charge pleine d’un canal comme la charge associée à la BPSK, alors le facteur de surcharge maximal à Eb/N0 = 9,6 dB est de 1,865. En d’autres termes, le nombre de bits par symbole peut être augmenté de 186,5% en comparaison avec ce qui peut être atteint en BPSK. Intéressons nous à présent à la QPSK. Cette modulation atteint un BER de 10-5 à Eb/N0 = 9,6 dB et transmet deux bits par symbole. A cette valeur de Eb/N0, la figure 2.4 montre que le nombre maximal de bits pouvant être transmis est de 5,73. Ainsi, en prenant la constellation QPSK comme référence, le facteur de surcharge maximal est ( ) 5,73 2 2 1,865 − = . Ceci signifie que, comme dans le cas de la BPSK, le nombre de bits par symbole peut être augmenté de 186,5% sans compromettre les performances. De même, la modulation 16-QAM (Quadrature Amplitude Modulation) qui transmet 4 bits par symbole se situe à Eb/N0 = 13,4 dB sur cette figure. La courbe de capacité indique que pour cette valeur de Eb/N0, 7,35 bits d’information peuvent être transmis par symbole. Autrement dit, le facteur de surcharge maximal par rapport à la 16-QAM est 21 égal à ( ) 7,35 4 4 0,837 − = soit 83,7%. Une analyse similaire à celle des modulations BPSK, QPSK et 16-QAM montre que la surcharge maximale diminue avec le nombre d’états de la constellation. Fig. 2.4. Capacité normalisée sur un canal AWGN de largeur de bande W en fonction de Eb/N0, et comparaison de plusieurs modulations à BER = 10-5

Capacité globale des systèmes m-OCDMA

Le système m-OCDMA se définit par extension de l’OCDMA/OCDMA, avec K sN M = + utilisateurs répartis en (s +1) groupes : s groupes comprenant N utilisateurs chacun, et un groupe de M utilisateurs ( 0 ≤ < M N ). Les séquences d’étalement relatives à chacun de ces groupes sont construites à partir des séquences de WH brouillées par une séquence PN spécifique à ce groupe. D’après [126], la capacité globale (“sum capacity”) du système m-OCDMA est donnée par :  , avec 1 2 dans le cas de symboles réels 1 dans le cas de symboles complexes γ = . On considère une constellation de 2q points. Sachant qu’on peut écrire les relations suivantes : K M s qN N η = =+ , (2.10) on déduit l’expression suivante pour l’efficacité spectrale :  La figure 2.5a représente η BPSK , η QPSK et η16QAM en fonction de Eb/N0 (courbes en pointillé). Il apparaît que ces courbes se confondent avec la limite de l’efficacité spectrale donnée par les formules de Shannon : ainsi, la courbe représentant η BPSK se superpose avec la courbe d’efficacité spectrale normalisée dans le cas de symboles réels, tandis que les courbes représentant η QPSK et η16QAM se confondent avec l’efficacité spectrale dans le cas de symboles complexes. Les surcharges (OF) résultantes sont représentées sur la figure 2.5b. On confirme ainsi que, dans l’hypothèse où il n’y a pas de diminution des distances minimales, les surcharges maximales admises dans le cas des modulations BPSK et QPSK sont identiques, alors que la surcharge maximale associée à la modulation 16-QAM est inférieure à celle permise par les modulations BPSK et QPSK.