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FONCTIONS LOGARITHMES ET AUTRES FONCTIONS EXPONENTIELLES
Exercice 2
Soit f la fonction numérique définie sur ]0, +¥[ par :
f(x) = x2 – 8lnx – 1.
Le plan P est muni d’un repère orthonormal (O ; (unité graphique : 1 cm).
La courbe représentative de f dans ce plan est notée C.
- a) Etudier le sens de variation de f.
- b) Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers 0.
Déterminer la limite de lorsque x tend vers + ¥. En déduire la limite de f en + ¥.
- c) Dresser le tableau de variation de f. Tracer C.
- L’équation f(x) = 0 admet deux racines. L’une est entière ; l’autre, notée x0, appartient à l’intervalle [3,2 ;3,3]. Justifier ces affirmations.
Corrigé
- a) f est une fonction définie et dérivable sur 3*+ car la fonction logarithme est définie et dérivable sur ce même intervalle. Et,
Donc > 0 Û x Î ]2, + ¥ [
< 0 Û x Î ]0, 2 [
= 0 Û x = 2.
On en déduit que f est strictement croissante sur l’intervalle [2, + ¥ [ et strictement décroissante sur l’intervalle ]0, 2 ].La courbe C représentative de f admet pour asymptote la droite d’équation x = 0 c’est-à-dire l’axe des ordonnées.
- La fonction f étant définie, dérivable et strictement monotone sur chacun des intervalles ]0, 2] et [2, + ¥ [, elle réalise une bijection de ]0,2 ] sur l’intervalle – image d’une part, et une bijection de [2, + ¥ [ sur l’intervalle – image .
L’intervalle – image contenant la valeur 0 dans chacun des deux cas car 3 – 8ln2 < 0, on en déduit que 0 admet un unique antécédent par f dans l’intervalle ]0, 2 ], et un unique antécédent par f dans l’intervalle [2, + ¥ [Autrement dit, l’équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions. On peut tout de suite remarquer que f(1) = 0 car ln1 = 0. Donc l’une de ces deux solutions est entière. D’autre part, f(3,2) » – 0,065 et f(3,3) » 0,339 donc f(3,2)´f(3,3) < 0. Le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure que, x0 désignant la seconde solution de l’équation f(x) = 0,x0 est élément de l’intervalle [3,2 ; 3,3 ].
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