Première version de la méthode

Nous présentons d’abord la méthode telle qu’elle a été formulée dans le premier ar-ticle ayant introduit la méthode [17]. La solution discrèteest développée sur une base éléments finis classique, à laquelle on rajoute des degrés deliberté spécifiques représen-tant la fissure. Ces derniers sont de deux types.
Fonctions représentant la séparation du matériauPour représenter la fissure, des degrés de libertés (ddl) représentant le « saut » du déplacement sont ajoutés. Ces ddl sont obtenus en multipliant une fonction de forme élément fini classique par une fonction de type Heaviside, notéeH, et valant +1 ou -1 de part et d’autre de la fissure. Ce produit représente une fonction à support limité, et qui représentebien une discontinuité à la traversée de la fissure.
Pour chaque fonction de forme classique dont le support est complètement traversé par la fissure, on ajoute une fonction de forme discontinue, v oir Fig. 2.2, où les noeuds enrichis de cette manière sont marqués d’un carré.
Calculs de FIC et conclusions Les auteurs ont également proposé une méthodolo-gie originale de calcul de FIC, via l’intégrale-J. Les résultats numériques de validation consistent essentiellement en des tests de robustesse et des calculs de FIC, dont l’erreur est souvent inférieure à 2 %.
La méthode ainsi formulée peut être étendue à d’autre types dproblèmes, à condition de connaître l’expression précise des singularités.

Améliorations et contributions diverses

Bien qu’il ne soit pas possible de présenter tous les travaux consacrés à la méthode XFEM, nous en évoquons un certain nombre qui ont permis des améliorations substan-tielles. Notamment à propos de la méthodologie numérique etde la précision de la mé-thode XFEM.

Utilisation de level-set

Dans la version originale de la méthode, il faut une représentation explicite de la fissure. Dans les articles [28, 29], les auteurs ont eu l’idée de coupler XFEM avec la méthode des level-set, ce qui est très utile pour repérer ou mettre à jour la position de la fissure.

Intégration des fonctions de forme singulières par une formule quasi-polaire

Il est crucial de disposer d’une expression très précise dessingularités pour que la mé-thode XFEM soit efficace. Dans le cas de l’élasticité linéarisée, on dispose d’expressions analytiques. Mais il convient aussi que l’intégration numérique soit elle aussi suffisament précise.
Dans [17], les auteurs pratiquaient un sous-découpage des léments contenant les ddl singuliers. Cette méthode a permis d’atteindre une précision correcte. Cependant, dans les articles [15, 14], les auteurs proposent des formules d’intégration dites « quasi-polaire ».
L’utilisation de fonctions singulières conduit à devoir calculer, pour la matrice de ri-gidité, des intégrales de la forme suivante : r(Fiϕj ).r(Fkϕl) dx, (2.5) où T désigne un triangle du maillage. Le gradient des singularités Fi est singulier en r−1/2. Mais en exprimant cette intégrale en coordonnées polaires, la transformation de dx en r dr dφ annule ces termes singuliers.

Utilisation d’une zone d’enrichissement de taille fixe

Des améliorations de la méthode XFEM ont été proposées danse articles [15, 14], notamment sur le taux de convergence de la méthode et le conditionnement du système linéaire. Rappelons que le taux de convergence est le nombre réelα tel que ku − uhk = O(hα).
En éléments finis classiques, on sait que la présence d’une fissure entraine une baisse du taux de convergence. Dans la méthode XFEM, comme la singularité exacte est ajoutée dans la base élément fini, les auteurs de [15, 14] font remarquer qu’on pourrait attendre de cette méthode qu’elle reproduise sans erreur la singularité. Par conséquent, la singularité étant exacte, l’erreur de la méthode XFEM devrait se limiterà celle sur l’approximation de la partie régulière, qui est optimale vis-à-vis de la précision de l’élément fini utilisé. Donc la méthode XFEM devrait permettre d’obtenir un taux de convergence optimal, c’est-à-dire le même que si le problème était régulier (sans fissure)Par. exemple, l’élément fini P1 devrait permettre d’obtenir une erreur en O(h), malgré la fissure (pour la norme de l’énergie).
Cependant, des tests numériques présentés dans [15, 14] montrent que la méthode XFEM, telle que formulée dans [17], ne réalise pas un taux de onvergence optimal. Dans ces deux articles, les auteurs mettent en cause la stratégied’enrichissement singulier don-née par (2.4), où seul l’élément contenant le fond de fissure ste enrichi par des fonctions singulières. Cette stratégie n’est pas complètement satisfaisante : en effet lorsque le pas du maillage tend vers 0, le support de cette zone enrichie tend aussi vers 0.
Face à ce constat, il est proposé que la zone d’enrichissement singulier soit de taille indépendante du pas de maillage. Une zone de rayonR est définie, et chaque noeud du maillage situé dans cette zone est enrichi par les fonctionsde forme singulière. Précisons que R est indépendant du pas de maillage. Cette méthode est nomméeXFEM“ with fixed enrichment area” dans [15]. L’expression du terme d’enrich issement singulier est le même que celui dans [17], sauf que cette fois-ci l’ensemble K peut contenir beaucoup plus de ddl que précédem-ment ; il s’agit des indices des ddl contenus dans la zone d’enrichissement de taille fixe R, voir Fig. 2.5.
Cet enrichissement modifié permet d’obtenir le taux de convergence optimal. Cepen-dant, les auteurs ont remarqué parallèlement une augmentation très importante du condi-tionnement du système linéaire. Rappelons qu’un conditionnement trop élevé peut dégra-der la précision numérique de la solution et rend difficile larésolution du système linéaire par des méthodes itératives.

Une méthode pour corriger le conditionnement

Dans [14], afin de corriger le mauvais conditionnement des ma trices du système linéaire, les auteurs ont développé une méthode originalee dpréconditionnement, qui consiste, en un certain sens, à orthogonaliser les fonction s de forme singulière. Cette procédure n’empêche pas l’utilisation supplémentaire deréconditionneursp classiques. Avec cette procédure d’orthogonalisation, le conditionnement est du même ordre que ce-lui d’une méthode d’élément fini classique (non-enrichie).

Fonction d’enrichissement global et raccord nodal

Les auteurs de [15] ont relevé que l’utilisation d’une zone d’enrichissement fixe pou-vait augmenter fortement le nombre de ddl supplémentaires.En plus du coût numérique, cette augmentation du nombre de ddl pourrait peser dans l’augmentation du conditionne-ment. Ils ont alors proposé une modification de la méthode. Tout en gardant cette zone d’enrichissement de taille fixe, l’ensemble des ddl singuli ers sont remplacés par un seul ddl pour chaque fonction singulière : ces nouvelles fonctions singulières ont donc pour support la zone d’enrichissement globale. Comme les singularités sont développées sur une base de 4 fonctions singulières, équation (2.3), cela nefait que 8 fonctions singulières (4 par composantes du déplacement).