Fluctuations du travail et de la chaleur dans des
systèmes mécaniques hors d’équilibre

Mesure de réponse : forçage magnétique

Afin de contourner le problème de la polarisabilité du liquide, qui complique singulièrement la mesure de la réponse du système quand ce dernier est immergé (`a nouveau, la mesure des fluctuations thermiques du système est fortement favorisée par l’immersion de l’oscillateur dans un fluide), nous nous sommes orientés vers la réalisation de dispositifs de forçage magnétiques. Ces dispositifs sont au nombre de deux et nous les détaillerons dans le cas de l’oscillateur en torsion. Le premier dispositif, schématisé sur les figs. 2.12(i) et 2.14, consiste `a déposer `a l’extrémité de la face arrière du miroir solidaire du fil de torsion une gouttelette de colle, dans laquelle nous avons incorporé de la poudre magnétique45 : ainsi, l’oscillateur 44Ou étudié, mais ce n’est pas notre but ici. 45Il s’agit soit de poudre de ferrite, de diamètre ∅ ≃ 1.1-1.4 µm gracieusement fournie par l’industriel grenoblois Euromag, soit de µ-métal, de perméabilité magnétique µ = (6-24) × 104 µ0 [Goo]. 58 Fluctuations dans des sytemes hors d’ ` equilibre ´ x ′ x O J(x ′ ) P Fig. 2.13 – Champ magnétique produit au point P (de coordonnée x) par une densité de courant J(x ′ ) localisée dans un domaine de l’espace (décrit par le rayon vecteur x ′ ; ici, il s’agit du soléno¨ıde). est le siège d’un moment dipolaire m. En diposant un soléno¨ıde au voisinage immédiat de ce dernier, nous pouvons générer un champ magnétique B (que nous faisons varier au moyen du courant I injecté dans le bobinage), et donc forcer l’oscillateur. Un simple calcul d’ordre de grandeur permet de mettre en évidence la supériorité du champ magnétique sur le champ électrique. A l’approximation dipolaire, le champ électrique généré par le soléno¨ıde s’écrit B(x) = µ0 4π 3n(n·m)−m |x| 3 , o`u n = x |x| et m = 1 2 R x ′ ∧J(x ′ ) d3x ′ désigne le moment dipolaire magnétique du soléno¨ıde [cf fig. 2.13 ; ne pas confondre ce dernier avec le moment dipolaire de l’oscillateur]. Dans notre cas (conducteurs filiformes), nous avons m = 1 2 P spires R 1 spire x ∧ I dl, soit m = NIS, o`u N désigne le nombre de spires du soléno¨ıde et S l’aire de sa section droite : le champ généré par le soléno¨ıde vaut donc B ∼ µ0 4π NS d 3 I, o`u d désigne la distance entre l’extrémité du soléno¨ıde et la gouttellette. L’énergie d’interaction entre le champ magnétique généré par le soléno¨ıde et le moment dipolaire m de la gouttelette vaut dans ce cas U = −m·B, o`u le champ est évalué au niveau de la gouttelette [Jac98]. Nous avons donc46 U ∼ − µ0 4π NSm d 3 I, o`u m désigne le moment dipolaire de la gouttelette, c’est-`a-dire une force appliquée F ∼ 3µ0 4π NSm (d0+x) 4 I, en notant d = d0 + x comme précédemment. Il s’agit donc a priori d’une force linéaire dans le courant I injecté dans le soléno¨ıde : nous allons montrer qu’en réalité il s’agit d’un couplage quadratique en I. Pour cela, il faut ˆetre plus quantitatif vis-`a-vis du moment dipolaire m de la gouttelette. Nous supposons que la gouttelette est sphérique de rayon R, paramagnétique ou diamagnétique de perméabilité µ, et nous négligerons les effets de la colle. Dans ce cas (cf [Jac98] § 5.11 p. 200), l’aimantation de la gouttelette dans le champ B généré par le soléno¨ıde vaut M = 3 µ0 µ−µ0 µ+2µ0 B, soit un moment dipolaire m = 4πR3 3 M de module m = 4πR3 µ0 µ−µ0 µ+2µ0 B. L’énergie d’interaction champ / dipˆole vaut dans ce cas U ∼ − µ0 4π µ−µ0 µ+2µ0 (NS) 2R3 d 6 I 2 , soit une force appliquée F ∼ 3µ0 2π µ−µ0 µ+2µ0 (NS) 2R3 (d0+x) 7 I 2 ∼ 3µ0 2π (NS) 2R3 d 7 0 I 2 , en supposant que x ≪ d0 et µ−µ0 µ+2µ0 ∼ 1. Cette dernière condition suppose que la poudre magnétique utilisée ait une forte 46Pour donner un ordre de grandeur, nous supposons que m est colinéaire `a B. En pratique, cela est réalisé en appliquant un champ magnétique `a la gouttelette solidaire de l’oscillateur durant le durcissement de la colle, de façon `a orienter au préalable les moments dipolaires individuels des grains de la poudre. 2. Mesures de fluctuations thermiques a l’ ` equilibre ´ 59 perméabilité magnétique (c’est précisément le cas du µ-métal, qui est notamment utilisé pour réaliser des blindages magnétiques, cf note de bas de page no. 45). Il s’agit donc d’une force quadratique dans le courant appliqué I, et qui se comporte spectaculairement comme 1/d7 , tandis que F ∼ 1/d2 pour le forçage électrostatique (cf § 2.3.3). Donnons un ordre de grandeur47 : avec N ∼ 50 spires, S ∼ 10−5 m2 , R ∼ 1 mm, d0 ∼ 5 mm, nous trouvons une force F ∼ 10−8 N pour un courant injecté I = 0.1 A, et F ∼ 10−6 N pour I = 1 A. On gagne donc deux ordres de grandeur par rapport `a la force appliquée dans le cas électrostatique, et il en est de mˆeme pour les déplacements induits dans chaque cas (selon le matériau et le fluide considérés). En pratique, les valeurs mesurées sont bien en dessous de celles que nous indiquons, du fait de la colle qui amalgame la poudre magnétique et de la non sphéricité de la gouttelette. Essentiellement pour les mˆemes raisons qui nous ont fait abandonner le forçage électrostatique (quand l’oscillateur est immergé), cette technique n’a pas été retenue. Cette fois-ci, ce n’est plus le fluide dans lequel l’oscillateur est immergé qui déphase de manière non contrˆolée la réponse du système : c’est le matériau avec lequel la cellule de l’oscillateur est réalisée (cf fig. 2.14) qui déphase de manière non contrˆolée le champ magnétique appliqué `a ce dernier. A nouveau, il faudrait donc tenir compte de la réponse du matériau de la cellule au champ, qui se caractérise lui aussi par une perméabilité magnétique µ = µ ′ + iµ′′ , et dont la réponse (2.15) ne tient pas compte. Toutefois, les mesures sont trop peu reproductibles pour que l’on puisse déterminer ainsi la réponse du système (c’est un problème analogue `a celui de la polarisabilité du liquide dans le cas du forçage électrostatique). L’autre alternative pour forcer le système, représentée sur les figs. 2.10, 2.12(ii) et 2.14, consiste `a adopter l’attitude inverse, et s’adapte plus particulièrement au cas de la torsion : nous allons appliquer un champ statique, et faire varier le courant au sein mˆeme de l’oscillateur. Un circuit électrique de forme rectanglulaire est soudé sur le fil de torsion de l’oscillateur [cf fig. 2.10 ; ce dernier sera réalisé en laiton, par exemple) ; l’ensemble est alors collé sur la face non réfléchissante du miroir. Le fil de torsion peut ˆetre réalisé en deux parties, soudées de part et d’autre du circuit, ou fait d’un seul tenant comme l’indique la fig. 2.10. Cette dernière possibilité permet, d’une part un meilleur centrage du système (i.e. un axe de rotation parfait), et d’autre part d’appliquer moins de contraintes au circuit électrique ainsi qu’au miroir quand on encastre l’oscillateur `a chacune de ses extrémités au moyen de cavaliers (il faut bien “tendre” l’oscillateur dans sa cellule afin d’éviter tout mode de compression ; cf figs. 2.10 et 2.14). Cette fois-ci, nous appliquons un champ magnétique statique B `a l’oscillateur au moyen de deux aimants fixés sur la cellule de l’oscillateur, de façon `a ce que leurs pˆoles 47µ0 = 4π × 10−7 Farad m−1 ≃ 1.2566 × 10−6 Farad m−1 . 60 Fluctuations dans des sytemes hors d’ ` equilibre ´ 

Autres forçages possibles

Nous indiquons deux dernières techniques de forçage, que nous n’avons pas testées, mais dont les ordres de grandeur indiquent qu’elles sont envisageables, quoique difficiles `a mettre en œuvre. Forçage par pression de radiation La première technique de forçage consiste `a exciter le miroir solidaire de l’oscillateur au moyen d’une onde plane électromagnétique : il s’agit du phénomène bien connu de pression de radiation. C’est certainement la technique la plus “lourde” `a mettre en œuvre, dans la mesure o`u il faut disposer d’un second laser, puissant, dont on puisse moduler l’intensité. Voyons la puissance nécessaire au laser pour pouvoir exciter le système. Considérons une onde plane électromagnétique se propogeant dans un milieu di- électrique linéaire, de constante diélectrique ε et perméabilité magnétique µ. Le flux d’énergie moyen (ou encore : la puissance moyenne par unité de surface) d’une telle onde électromagnétique est donné par le vecteur de Poynting moyen [Jac98, LL89] S = E ∧ H = rε µ E2 n = vWn, (2.30) o`u E et H désignent les champs électrique et magnétique, n leur direction de propagation, v = 1/ √µε leur vitesse de propagation et W la force par unité de surface50 associée `a S. 50Noter que [S] = MT −3 et [W] = ML−1T −2 = [pression]. 62 Fluctuations dans des sytemes hors d’ ` equilibre ´ Dans le cas o`u une telle onde électromagnétique vient se réfléchir sur une paroi réfléchissante, elle exerce sur cette dernière une force par unité de surface (une pression) qui vaut (cf [LL89] § 47, pb. 1 p. 149) f = Wn(N·n) + W′n ′ (N·n ′ ), (2.31) o`u N désigne la normale `a la paroi, R = W′/W le coefficient de réflexion de cette dernière, n et n ′ les directions de propagation du champ incident et réfléchi. Typiquement, si le rayon lumineux se propage dans le vide, est issu d’un laser de puissance p ε0/µ0 E2 ∼ 100 mW cm−2 = 103 W m−2 (respectivement ∼ 1000 mW cm−2 = 104 W m−2 ) et tombe sous incidence normale51 sur une portion du miroir de l’ordre de 1 mm2 avec R ∼ 50%, la force appliquée au miroir vaudra52 F ∼ 1.5×103×10−6/c ∼ 5 × 10−12 N (respectivement ∼ 5 × 10−11 N). Par conséquent, c’est seulement avec un laser de forte puissance ∼ 1 W cm−2 et un oscillateur non immergé réalisé dans un matériau viscoélastique très dissipatif (tel le PVC ou le PMMA, o`u χ ∼ 200 N−1 m, cf § 2.3.3) que nous pourrons mesurer la réponse du système : dans ce cas, le déplacement induit sera de l’ordre de 10−8 m [si l’oscillateur est réalisé en laiton (χ ∼ 25 N−1 m), le déplacement correspondant sera de l’ordre de 10−9 m]. Ajoutons qu’étant données les puissances nécessaires pour forcer le système, il faut s’attendre `a ce que le laser “réchauffe” localement le système et le porte temporairement hors d’équilibre, avant que les températures du système et du bain environnant ne s’équilibrent. Cette technique de forçage semble donc a priori inférieure en tous points aux techniques électrostatiques et magnétiques. Forçage par effet Casimir Une technique de forçage encore plus sophistiquée, mettant notamment en jeu des effets quantiques, consiste `a tirer profit de l’effet Casimir. Pour mettre en œuvre cette technique, il est nécessaire de faire le vide dans le cellule de l’oscillateur (cf fig. 2.14) : expérimentalement, c’est une difficulté supplémentaire. La fig. 2.15 représente schématiquement la configuration correspondante : une plaque conductrice mobile est insérée en x = R dans une cavité cubique de parois condutrices de dimension L ≫ R. Casimir et Polder [CP42] calculèrent en 1948 les énergies de point zéro ER, ELR et EL des trois cavités électromagnétiques ainsi réalisées (on peut trouver un calcul complet dans [Bal98, IZ80], par exemple). Leur résultat est que l’insertion de la plaque conductrice dans la cavité a pour effet d’induire une différence d’énergie53 ∆E = ER + ELR − EL = −~c π 2 720 L 2 R3 , (2.32) 51Une incidence non normale du faisceau laser sur la surface réfléchissante du miroir ne modifie pas quantitativement les ordres de grandeur indiqués. 52√ε0µ0 = 1/c. 53Les énergies de point zéro ER, ELR et EL divergent (on les régularise en introduisant un cutoff, cf [Bal98]) ; cependant, la différence ∆E est finie. 2. Mesures de fluctuations thermiques a l’ ` equilibre ´ 63 x y z O L L L R ER ELR EL Plaque conductrice Cavité de parois conductrices Fig. 2.15 – Effet Casimir. Une plaque conductrice mobile est insérée en x = R dans une cavité cubique de parois condutrices de dimension L ≫ R. `a laquelle correspond une force attractive par unité de surface (une pression) entre la plaque conductrice située en x = R et la paroi conductrice de la cavité située en x = 0 F = − 1 L2 ∂∆E ∂R = − ~c 240 π 2 R4 . (2.33) Les critères de validité de la force ainsi obtenue sont d’une part que la distance R doit ˆetre telle que R ≪ L, d’autre part que les parois considérées doivent ˆetre exemptes de charges électrostatiques, “propres” et d’une planéité parfaite. Donnons un ordre de grandeur de la force qui peut ainsi ˆetre appliquée au système. Au moyen d’une platine de translation micrométrique complétée d’un cristal piézoélectrique, on peut approcher une électrode `a une distance R0 ∼ 1 µm du miroir solidaire de l’oscillateur (la face du miroir en question sera dorée). La cavité est réalisée par la cellule de l’oscillateur : L est donc de l’ordre du centimètre, et nous nous plaçons donc précisément dans la situation o`u R ≪ L. Dans ce cas, on obtient une force par unité de surface de l’ordre de 10−3 Pa (`a nouveau, nous posons R = R0 + x avec x ≪ R0). En supposant que l’électrode et le miroir interagissent sur une surface de l’ordre de 1 mm2 , nous trouvons une force de l’ordre de 10−9 N, soit un déplacement induit x ∼ 10−8 m pour du laiton dans l’air (x ∼ 10−7 m pour du PMMA ou du PVC). Il s’agit donc d’une autre possibilité pour forcer l’oscillateur, cependant fort peu adaptée au cas de la mesure de la réponse du système, puisque nous ne disposons pas d’un paramètre de contrˆole pour appliquer cette force au système. On peut par exemple mettre `a profit cette force pour plonger l’oscillateur dans un potentiel non linéaire, lorsqu’une force électrostatique ou magnétique est déj`a appliquée au système (cf chaps. 4 et 5). 2.3.6 Calibration de la force et vérification du TFD Nous avons passé en revue dans les paragraphes précédents différentes techniques pour forcer le système et mesurer sa réponse : dans le cas électrostatique, la force appli- 64 Fluctuations dans des sytemes hors d’ ` equilibre ´ quée est quadratique dans la tension appliquée V , dans le cas magnétique cette dernière est linéaire ou quadratique dans le courant injecté I, et dans le cas du forçage basé sur la pression de radiation d’une onde électromagnétique, cette dernière est linéaire dans l’intensité qui alimente le laser. Nous noterons indifféremment λ le paramètre de contrˆole de la force appliquée `a l’oscillateur, qu’il s’agisse d’un courant, d’une tension ou de leurs carrés respectifs : ainsi, l’équation du mouvement de l’oscillateur amorti (2.14) forcé s’écrit (au terme de bruit ζ près)  −mω2 + k ′ − i(k ′′ + ηω)  xˆ = Fˆ ext ≡ aλ. ˆ (2.34) La calibration de la force appliquée Fext consiste `a déterminer la constante de proportionnalité a entre Fext et λ. Expérimentalement, on détermine la réponse du système en donnant au paramètre de contrˆole λ les caractéristiques d’un bruit blanc, dans la bande de fréquences que l’on désire étudier. Cela est facilement réalisé au moyen d’un analyseur de spectre ou d’une carte génératrice de signaux. La réponse ainsi mesurée a pour expression [cf (2.15)] χe ′ = x˜ λ˜ = a −m(2π) 2ν 2 + k ′ − i(k ′′ + 2πην) = aχ, e (2.35) o`u χe = ˜x/F˜ ext désigne la réponse “absolue” du système. On peut déterminer la constante de proportionnalité a en remarquant que la partie réelle de χe ′−1 est un polynˆome du premier ordre en ν 2 : l’ajustement de Re χe ′−1 au moyen du polynˆome P(ν) = A0 + A1ν 2 doit donc donner a = k ′/A0, o`u k ′ = mω2 0 désigne la raideur de l’oscillateur `a vide (on connaˆıt m et ω0, que l’on mesure au préalable). Noter que la détermination de a `a partir de la courbure A1, d’après a = −m(2π) 2/A1, est systématiquement biaisée dans le cas o`u l’oscillateur est immergé, en raison de la masse de fluide déplacée par le miroir, comme nous l’avons signalé au §2.3.2. La courbure A1 peut toutefois nous permettre de vérifier que nous sommes cohép rents et que ne commettons pas d’erreur dans la détermination de a : en effet, le rapport |A0/A1| doit précisément correspondre `a la fréquence de résonance de l’oscillateur ν ′ 0 dans la configuration expérimentale envisagée (i.e. immersion ou non de l’oscillateur). La détermination de la force appliquée Fext nécessite donc seulement de connaˆıtre la fréquence de résonance de l’oscillateur `a vide ν0 [que l’on mesurera, ce qui sera nettement plus précis qu’utiliser la formule (2.25)] ainsi que, soit la masse m de l’oscillateur dans le cas de la flexion [donnée par (2.25) : il suffira de peser le levier ainsi que le miroir, auquel cas k ′ = (2π) 2mν0], soit le moment d’inertie I de l’oscillateur dans le cas de la torsion [donné par (2.28) : il suffira de mesurer et de peser précisément chacune de ses parties, auquel cas C ′ = (2π) 2 Iν0]. En procédant ainsi, l’erreur dans la détermination de la force appliquée Fext n’excède pas 5%, `a condition toutefois que la réponse mesurée (2.35) soit convenablement moyennée afin d’en déterminer correctement le comportement `a très basse fréquence, 2. Mesures de fluctuations thermiques a l’ ` equilibre ´ 65 0 50 100 150 200 250 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 x 105 ν (Hz) Re eχ′−1 0 50 100 150 200 250 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 x 105 ν (Hz) Im eχ′−1 Fig. 2.16 – Mesure de la réponse. Les courbes en traits continus représentent la mesure et les ◦ représentent leurs ajustements paraboliques (l’huile utilisée est telle que η ∼ η0 + ωη1). dont dépend crucialement le coefficient A0. On peut notamment mesurer cette dernière par morceaux, en injectant un bruit blanc sur de petites bandes de fréquences de l’ordre de 5 Hz (et en raccordant numériquement l’ensemble des réponses obtenues afin de s’assurer que l’on ne commet pas d’erreur). La fig. 2.16 reporte la mesure des parties réelles et imaginaires de la réponse χe ′−1 dans le cas d’un oscillateur de torsion au sein duquel on fait circuler un courant, et qui est forcé par des aimants permanents fixés `a l’extérieur de sa cellule (forçage magnétique) : la configuration expérimentale adoptée correspond aux figs. 2.12(ii) et 2.14. L’oscillateur considéré est tel que l1 = 4 mm, d1 = 0.75 mm, h1 = 50 µm, l2 = 7 mm, d2 = 2.25 mm et h2 = 1.04 mm (cf fig. 2.10). Le système a une masse effective, intégrant le dispositif de forçage, de m = 4.02 × 10−2 g, et une fréquence de résonance `a vide ν0 = 326.25 Hz [`a ne pas confondre avec la fréquence ν ′ 0 qu’indique la fig. 2.16(i), voir plus bas] : la raideur ainsi que le moment d’inertie de l’oscillateur `a vide valent donc respectivement C ′ = 7.50 × 10−4 N m rad−1 et I = 1.79 × 10−10 kg m2 . Afin de faciliter la mesure des fluctuations thermiques de l’oscillateur, nous l’avons immergé dans une huile minérale (d’indice optique n = 1.65, de viscosité η = 121.3 mPa s et de densité ρf = 0.9 ρeau `a T = 21.3 ◦C). Sa fréquence de résonance se déplace au voisinage de ν ′ 0 = 213 Hz (en accord avec ce qui a été dit au § 2.3.2), comme on peut l’observer sur la fig. 2.16(i) : ν ′ 0 correspond précisément au passage `a zéro de Re χe ′−1 . On remarquera sur la fig. 2.16(ii) que Im χe ′−1 a un comportement légèrement parabolique : cela est dˆu au fait que l’huile utilisée est telle que η ∼ η0 +ωη1 dans la gamme de fréquences étudiée (cf § 2.3.1). Une fois la force Fext calibrée, nous pouvons déterminer si le système étudié est `a l’équilibre thermodynamique ou non. Si c’est le cas, le spectre de fluctuation h|x˜| 2 i obtenu `a Fext = 0 ainsi que le spectre de fluctuation 4kBT 2πaν Im χe ′ tiré de la mesure de la réponse χe ′ doivent se superposer l’un sur l’autre, aux erreurs expérimentales de mesure 66 Fluctuations dans des sytemes hors d’ ` equilibre ´ 100 101 102 103 10−11 10−10 10−9 ν (Hz) ph| ˜θ| 2 i (rad / √Hz) Fig. 2.17 – Vérification du TFD. Nous représentons le spectre de fluctuation h|˜θ| 2 i obtenu `a Mext = 0 (ligne continue) ainsi que le spectre de fluctuation 4kBT 2πaν Im χe ′ tiré de la mesure de la réponse χe ′ (symboles ◦). Les deux spectres se superposent exactement l’un sur l’autre : le TFD est vérifié, et le système est `a l’équilibre. près, en vertu du TFD h|x˜| 2 i = 4kBT 2πaν Im χe ′ . (2.36) C’est précisément ce que nous observons sur la fig. 2.17, qui reporte le spectre de fluctuation h|˜θ| 2 i obtenu `a Mext = 0 ainsi que le spectre de fluctuation 4kBT 2πaν Im χe ′ tiré de la mesure de la réponse χe ′ . On remarquera que les deux spectres se superposent exactement l’un sur l’autre : le TFD est bien vérifié, et le système est `a l’équilibre. Remarquons que la relation de fluctuation-dissipation (2.36) peut servir de définition `a la température T du système étudié. En effet, si nous connaissons en règle générale la température du réservoir au contact duquel se trouve l’oscillateur54, nous pouvons aussi considérer cette dernière comme un paramètre d’ajustement supplémentaire, déterminé de façon `a ce que le spectre de fluctuation h|x˜| 2 i obtenu `a Fext = 0 se superpose au spectre de fluctuation 4kBT 2πaν Im χe ′ tiré de la mesure de la réponse χe ′ . Nous disposons donc en quelque sorte d’un “thermomètre” du système. Un tel procédé n’est évidemment valable que si le système est `a l’équilibre thermodynamique. Dans le cas contraire, nous devons observer une violation du TFD (2.36).