Façonnage d’ondes de matière dans un réseau optique dépendant du temps
Rappel sur la condensation de Bose-Einstein
Un condensat de Bose-Einstein est un etat de la mati ére dans lequel un nombre macroscopique de particules bosoniques partagent le même etat quantique. Cet état de la matiére n’apparait pas naturellement : Il n’est observe qu’en laboratoire, ou l’environnement du gaz peut être contrôle avec une grande precision. Le but de cette partie est de donner un aperçu du formalisme théorique permettant de decrire ces gaz quantiques.
Description de Bose et Einstein : le gaz ideal
Dans les prochains paragraphes, nous allons introduire un parametre qui détermine si le gaz d’atomes que nous considerons doit étre décrit par la physique quantique plutot que par la physique classique. Il s’agit de la densite dans l’espace des phases D qui compare la distance entre deux particules avec la longueur d’onde thermique de de Broglie λT .
Description du modele
En 1924, Satyendra Nath Bose propose une nouvelle maniere de consid erer le rayonnement du corps noir [44] : il considere ce rayonnement comme un gaz de particules indiscernables. Il envoya son article a Albert Einstein qui le g enéralisa a toutes les particules bosoniques, en particulier les atomes . Les particules sont considerées comme un gaz id éal contenu dans une boite en trois dimensions de coté L. L’hamiltonien de ce systeme est donc simplement la somme des energies cinetiques de chacune des particules de masse m et du potentiel du piege . (2.1) En utilisant les conditions aux limites periodiques, les états propres de l’hamiltonien (2.1), sont les ondes planes hr|ϕki = ϕk(r) = e ik·r L 3/2 avec kx,y,z = 2π L nx,y,z, (2.2) ou les ni sont des entiers positifs ou negatifs. L’ énergie correspondant a un etat est éi = 2π 2~ 2 mL2 (n 2 x + n 2 y + n 2 z ). (2.3) Le resultat principal de ce mod éle est que, pour des bosons, le nombre de particules moyen Ni dans un niveau d’energie éi est donne par Ni = 1 e β(Ei−µ) − 1 , (2.4) ou µ est le potentiel chimique et β = 1/kBT avec kB la constante de Boltzmann et T la temperature du gaz. Cette equation est connue sous le nom de statistique de Bose-Einstein. A partir de cette description du gaz, le nombre total moyen de particules est donc la somme des particules de tous les niveaux d’energie i qui peuvent etre dégénérés gi fois Ntot = X∞ i=0 giNi = X∞ i=0 gi e β(Ei−µ) − 1 . (2.5) Nous allons etudier un chemin qui conduit a la condensation de Bose-Einstein en analysant com- ment le gaz se comporte lorsque la temperature T diminue a nombre de particules Ntot et volume V fixe. C’est un chemin ”proche” de ce qui est réalis é en pratique : exp érimentalement, nous diminuons la temperature et le nombre de particules mais avec des lois d’ échelle di fferentes, la temperature du nuage diminue ”plus rapidement” que le nombre de particules. Un chemin alternatif vers la condensation serait d’augmenter Ntot a T ,V fixes mais ce proc édé rencontre des limitations experimentales. D’une part, pour des pressions trop élev ées le gaz de- vient liquide ou solide 1 mais on s’affranchit de ce probleme en utilisant des pi eges magn etique ét/ou optique avec des parois non materielles : aucune gouttelette ne peut se former sur celles-ci ce qui empeche le gaz de devenir liquide puis solide. D’autre part, les volumes de capture de ces pieges ne sont malheureusement pas assez grands pour envisager d’augmenter su ffisamment la 1. Cette remarque est egalement vraie quand la temp érature diminue. 34 densite de particules pour atteindre la condensation de Bose-Einstein.
Densite dans l’espace des phases
Nous allons etudier comment les particules qui composent le gaz se r épartissent sur les niveaux d’energie lorsque la temp érature du nuage diminue. Pour cela, nous allons consid érer la contribu- tion de l’etat fondamental s épar ément des autres niveaux d’ énergie. Prenons comme origine des énergies l’ énergie de l’ état fondamental é0 = 0, suppose non d égénéré, c’est- a-dire avec g0 = 1. Les nombres d’atomes dans l’etat fondamental et les états excit és sont alors respectivement N0 = e βµ 1 − e βµ , Ni>0 = X∞ i=1 gie βµ e βEi − e βµ . (2.6) Le nombre de particules total etant fix é, nous avons la relation Ntot = N0 + Ni>0. L’idee du raison- nement est de determiner une expression de la population des états excit és pour en d éduire la fraction de la population dans l’etat fondamental au fur et a mesure que la temp erature du nuage diminue. Pour cela, evaluons l’ équation (2.6) en remplaçant la somme sur les niveaux d’ énergie par une integrale sur la densit é d’ états 2 [46] Ni>0 ‘ Z ∞ 0 4π 2 k 2ρ(k) e βµ e βE(k) − e βµ dk avec ρ(k) = L 2π 3 . (2.7) Avec le changement de variable x = βE, la densite d’ états est donn ée par [46] ρ(x) = V λ 3 T 2 √ π √ x, (2.8) ou on a introduit λT la longueur d’onde thermique de de Broglie λT = s 2π~ 2 mkBT . (2.9) C’est une quantite essentielle a la physique des atomes froids : la longueur d’onde thermique est une grandeur statistique qui represente la longueur d’onde de de Broglie moyenne des particules qui composent le gaz a une temp erature T . Elle caracterise donc l’ étalement spatial moyen d’une particule .
Table des matières
Table des figures
Liste des tableaux
Legende des schémas optiques
1 Introduction genérale
I Dispositif experimental
2 Production de condensats de Bose-Einstein
2.1 Introduction
2.2 Rappel sur la condensation de Bose-Einstein
2.2.1 Description de Bose et Einstein : le gaz ideal
2.2.1.1 Description du modele
2.2.1.2 Densite dans l’espace des phases
2.2.2 Description de Gross et Pitaevskii : le gaz en interaction
2.2.2.1 Description du modele
2.2.2.2 Gaz en interaction dans un piege harmonique
2.3 Dispositif experimental
2.3.1 Piege magn èto-optique et refroidissement Doppler
2.3.1.1 Principe de fonctionnement
2.3.1.2 Mise en œuvre experimentale
2.3.1.3 Le piege magn èto-optique 2D
2.3.1.4 Le piege magn èto-optique 3D
2.3.2 Pieges conservatifs et refroidissement par èvaporation
2.3.2.1 Refroidissement par evaporation dans le pi ége magn ètique
2.3.2.2 Refroidissement par evaporation dans le pi ége hybride
2.3.3 Systeme d’imagerie
2.3.3.1 Principe de l’imagerie par absorption
2.3.3.2 Mise en œuvre experimentale
2.4 Conclusion
3 Reseau optique
3.1 Introduction
3.2 Theorie des r éseaux optiques
3.2.1 Mouvement d’une particule classique dans un reseau optique
3.2.1.1 Equations d’Hamilton
3.2.1.2 L’espace des phases
3.2.2 Evolution d’une fonction d’onde dans un reseau optique
3.2.2.1 Le theor éme de Bloch
3.2.2.2 Structure de bande
3.3 Mise en œuvre experimentale et utilisation du r éseau optique
3.3.1 Presentation du montage exp érimental
3.3.2 Chargement du reseau
3.3.3 Mesure de l’etat pr épar é
3.3.4 Calibration de la profondeur du reseau optique .
3.3.4.1 Calibration preliminaire : di ffraction de Kapitza-Dirac dans l’approximation de Raman Nath
3.3.4.2 Calibration par micro-oscillations .
3.4 Modulation periodique du r éseau
3.4.1 Transfert d’energie
3.4.1.1 Transitions verticales
3.4.1.2 Regles de s èlection pour la modulation d’amplitude en k = 0
3.4.1.3 Regles de s èlection pour la modulation de phase en k = 0
3.4.1.4 Terme de couplage en k , 0
3.4.1.5 Intermezzo : Refroidissement d’un nuage d’atomes
3.5 Accelération du r éseau
3.5.1 Condition d’adiabadicite
3.5.2 Oscillation de Bloch
3.6 Conclusion
II Controle du rêseau en phase
4 Observation et controle d’halos de dî ffusion
4.1 Introduction
4.2 Theorie quantique de la diffusion
4.2.1 Description quantique d’une collision
4.2.1.1 Amplitude de diffusion
4.2.1.2 Section efficace de diffusion
4.2.2 Potentiel central a basse ènergie – longueur de di ffusion
4.2.2.1 Decomposition en ondes partielles
4.2.2.2 Limite de basse energie
4.2.2.3 Potentiel de contact
4.2.2.4 Particules identiques
4.3 Historique et modelisation des exp ériences de collisions avec des atomes froids
4.3.1 Contexte experimental
4.3.1.1 L’experience du MIT
4.3.1.2 Les experiences d’Amsterdam [2] et Dunedin [3]
4.3.1.3 L’experience de l’Institut d’optique [4]
4.3.2 Modelisation th éorique
4.3.2.1 Presentation du mod éle
4.3.2.2 Distribution en impulsion entre les ordres de diffraction
4.4 Un nouveau protocole pour controler les halos de dî ffusion
4.4.1 Protocole experimental et optimisation des param étres
4.4.2 Resultats exp érimentaux
4.4.2.1 Controle en impulsion moyenne (centre de masse)
4.4.2.2 Controle en impulsion relative
4.4.2.3 Quantification de la vitesse relative des atomes diffuses
4.4.2.4 Controle mixte des impulsions moyenne et relative
4.4.2.5 Fraction d’atomes diffuses
4.5 Discussion
4.6 Conclusion
5 Controle optimal de la phase du r êseau optique
5.1 Introduction
5.2 Introduction theorique
5.2.1 Le controle optimal classique
5.2.1.1 Le probleme du contr ole optimal
5.2.1.2 Le principe du maximum de Pontryagin
5.2.2 Application du controle optimal ˆ a un syst ème d’atomes froids
5.2.2.1 Principe du maximum de Pontryagin pour un systeme quantique
5.2.3 Methode num érique
5.2.3.1 Methode du gradient
5.2.3.2 Application de l’algorithme GRAPE
5.3 Resultats exp érimentaux
5.3.1 Controle des populations de la distribution en impulsion
5.3.1.1 Preparation de mon omes d’impulsion
5.3.1.2 Preparation de bin omes d’impulsion
5.3.1.3 Reversibilit é d’un protocole de contr ole optimal
5.3.1.4 Influence du temps de controle
5.3.1.5 Limite en frequence des champs de contr ole
5.3.1.6 Preparation d’ états d’impulsion de population arbitraire
5.3.2 Controle des phases relatives de la distribution en impulsion
5.3.2.1 Controle de la phase relative entre deux ordres de dî ffraction
5.3.2.2 Controle de la phase relative entre plusieurs ordres de dî ffraction
5.3.3 Preparation d’ états de la structure de bande du r éseau
5.3.3.1 Preparation d’ états propres du r éseau
5.3.3.2 Preparation de superpositions contr olêes d’ états propres du r éseau
5.4 Conclusion
III Controle du r êseau en amplitude
6 Resonances dans l’e ffet tunnel assiste par le chaos
6.1 Introduction
6.2 Introduction theorique
6.2.1 Espace des phases stroboscopique
6.2.1.1 Adimensionnement de l’hamiltonien du reseau modul é
6.2.1.2 Portrait de phases stroboscopique
6.2.2 Effet tunnel dans un espace des phases stroboscopique
6.2.2.1 Representation de Husimi
6.2.2.2 Rappel et analogie avec le double de puits de potentiel
6.2.2.3 Theor éme de Floquet-Bloch
6.2.2.4 Effet tunnel regulier
6.2.2.5 Effet tunnel assiste par le chaos
6.2.2.6 Influence du quasi-moment k
6.3 Experiences pionni éres
6.3.1 L’experience de Gaithersburg
6.3.2 L’experience d’Austin
6.3.3 Recapitulatif et comparaison des exp ériences
6.4 Resultats exp érimentaux
6.4.1 Bifurcation des zones de stabilite dynamiques
6.4.1.1 Origine de la bifurcation
6.4.1.2 Observation de la bifurcation des zones de stabilite
6.4.2 Resonances de l’effet tunnel assiste par le chaos
6.4.2.1 Protocole experimental
6.4.2.2 Observation experimentale de l’e ffet tunnel regulier
6.4.2.3 Observation experimentale de l’e ffet tunnel assiste par le chaos
6.5 Conclusion
7 Conclusion genéral
IV Annexes
A Schema du montage optique de la table refroidisseur. Tir é de [7]
B Schema du montage optique de la table repompeur. Tir é de [7]. 261
C Tableau recapitulatif de la production des condensats
D Monomes d’impulsions
E Binomes d’impulsions
F Autres resonances de l’e ffet tunnel assiste par le chaos observées
Bibliographie
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