Extensions possibles à d’autres cas d’études

Introduction

Comme détaillé dans les chapitres précédents, la réverbération des ondes élastiques émises et reçues dans les plaques après avoir parcouru la totalité de celles-ci contient des informations quantitatives utiles qui les caractérisent. En particulier, nous avons démontré la possibilité d’estimer la valeur de l’aire S d’une plaque à partir d’une petite zone de cette surface. Dans la continuité de cette idée, nous allons montrer dans ce chapitre que dans le cas d’une propagation 1D, c’est la longueur de l’échantillon qui peut être estimée de cette manière. Pour celà, le modèle statistique sera adapté et des relations entre les caractéristiques moyennes des signaux et quelques propriétés du milieu seront développées. Afin de valider le modèle statistique, ces expressions théoriques seront comparées avec des résultats obtenus à partir de la méthode des éléments finis. Dans une deuxième partie de ce chapitre, nous allons relier théoriquement les moyennes d’ensembles des signaux réverbérés aux caractéristiques d’un défaut dans une plaque, considéré comme une source secondaire.

Réverberation dans une structure 1D

Le but de ce paragraphe est d’étudier l’effet des ondes acoustiques réverbérées dans une structure unidimensionnelle (1D). Le problème que l’on se propose de traiter est notamment l’estimation de la longueur d’une barre à partir de l’accès à une zone limitée de sa longueur. Premièrement nous présenterons une description statistique des ondes réverbérées pour des structures 1D utilisant la méthode des source-images qui nous permettra de dériver des relations théoriques utiles (espérance mathématique des enveloppes au carré et espérance mathématique d’intégrales de Schroeder des signaux reçus). Enfin des résultats numériques obtenus à partir de la méthode des éléments finis nous serviront à valider la théorie et estimer la longueur de quelques barres de différentes tailles. 

Modèle statistique 1D

Dans cette partie, une approche statistique est proposée pour déduire le comportement moyen du système. Un signal de durée limitée appliqué en un point source S est récupéré par les récepteurs R après une propagation dans la barre (Figure 4.1). (1D) S Ondes incidentes Ondes incidentes Ondes réfléchies Ondes réfléchies R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 Figure 4.1 – Propagation d’onde dans une barre de longueur L. Soit le signal reçu u(t) par l’un des récepteurs collés sur la barre, exprimé sous la forme suivante : u(t) = u D(t) + u R (t) = u D(t) + + X∞ i=0 κ1i s1(ri , t), (4.1) où, u D(t) = s1(r0, t) représente le signal de propagation directe dans la barre d’un point source S au récepteur R. u R(t) = P+∞ i=1 κ1i s1(ri , t) correspond à une série infinie de réflexions sur les deux extrémités de la barre. Les exposants D et R désignent direct et réfléchi, respectivement. κ1i est le nombre des paquets d’onde provenant des source-images situées à des distances entre ri et ri + ∆ri du récepteur, où ri est la distance entre une source-image et le récepteur, comme illustrée dans la figure 4.2. ∆ri est choisi de sorte que le nombre de source-image soit au maximum égal à 1 (∆ri  ri). L’espérance mathématique de κ1i est donnée par l’équation suivante : E [κ1i ] = λ1(ri) ∆ri , (4.2) 84/140 ri ri . Figure 4.2 – Nombre de paquets d’onde sur une distance ri et ri + ∆ri , cas d’une structure 1D. avec λ1(r) la densité moyenne des paquets d’ondes reçus sur une distance r. Par la suite, les réflexions dues aux deux bords de la barre sont présentées comme étant des paquets d’ondes issus des sources images à des distances ri du récepteur. Afin d’estimer λ1(r), il faut calculer le nombre de source-images réparties sur une distance r  L (Figure 4.3), Λ1(r). x y S r Figure 4.3 – Méthode des source-images pour une structure unidimensionnelle (1D). Ainsi le nombre moyen de source-images existant sur une distance r est égal à : Λ1(r) ‘ 2 Distance r des sources images Longueur de la barre = 2 r L . (4.3) La densité λ1(r) est définie comme étant la dérivée de Λ1(r) par rapport à la distance r. Elle s’écrit alors sous la forme suivante : λ1(r) ‘ dΛ1(r) dr = 2 L . (4.4) Nous constatons donc que pour une propagation des ondes dans une structure unidimensionnelle (1D), la densité moyenne des paquets d’ondes λ1(r) ne dépend que de la longueur de la barre. Comme au chapitre 2, l’expression théorique de la moyenne des enveloppes au carré des signaux est dérivée en se servant du modèle statistique développé dans le domaine temporel. Comme nous l’avons déjà mentionné, notre étude n’est valable que pour des propagations mono-mode. Les calculs détaillés dans le chapitre 2 nous permettent de déduire l’espérance mathématique des enveloppes au carrée des signaux réverbérés à partir de l’équation (2.20) :  E h |U R (t)| 2 i = Z +∞ 0 λ1(r) |S1R(r, t)| 2 dr , (4.5) U R(t) et S1R(r, t) sont les signaux analytiques complexes des signaux u R(t) et s1R(r, t), respectivement. Ce dernier est le signal reçu par l’un des récepteurs après une propagation sur une distance r du milieu complexe et un nombre de réflexion NR(r) sur les deux bords de la barre. S1R(r, t) peut se mettre sous la forme : S1R(r, t) = a(r) e −γ 0 0 r S1Rp(r, t), (4.6) où la fonction a(r) est directement liée a la fonction de Green décrivant la propagation, a(r) = 1 pour une propagation unidimensionnelle et S1Rp(r, t) représente la partie du signal propagatif.

 Résultats numériques. Dans cette partie, des modèles numériques de barres de différentes tailles (L1 = 0, 5 m, L2 = 1 m et L3 = 2 m) sont présentés pour tester la méthode. Ici, les barres sont maillées par des éléments quadratiques, voir la figure 4.5. Par la suite, les barres sont excitées par une force transitoire, qui est un cycle de sinusoïde à une fréquence de 20 kHz. Figure 4.5 – maillage d’une barre, réalisé à l’aide du logiciel Gmsh. Les signaux reçus sont par la suite convolués par cinq cycles de sinusoïdes pondérés par une fenêtre de Hanning à 15 kHz afin de privilégier le mode de flexion. Une fois que les signaux sont filtrés, ils seront traités pour extraire la moyenne des enveloppes et/ou des intégrales de Schroeder, qui seront alors comparées aux courbes théoriques obtenues respectivement par les équations (4.7) et (4.12). Comme nous l’avons vu précédemment, la moyenne des enveloppes au carré des signaux enregistrés par plusieurs récepteurs converge vers la fonction théorique (Équation 4.7) à condition que la densité de paquets d’ondes soit suffisamment élevée. Dans une structure unidimensionnelle nous n’avons que deux bords de réflexions. Le nombre de paquets d’ondes reçus par les récepteurs à une distance ri ≤ r des source-images (Figure 4.3) est donc beaucoup plus faible que dans le cas des plaques. Afin de compenser ce faible nombre de paquets d’ondes, nous devons utiliser un nombre plus élevé de capteurs. Ici, l’étude sera faite sur la moyenne de 28 récepteurs arbitrairement répartis sur la barre. La figure 4.6 présente la moyenne des enveloppes au carré reçus sur les 28 réalisations (courbe en bleu) en fonction du temps. 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 temps (s) amplitude normalis´ee num´erique th´eorique ajust´ee Figure 4.6 – Enveloppe moyenne au carré. La courbe numérique présente la moyenne des enveloppes au carré des signaux reçus par 28 positions de capteurs. La courbe exponentielle théorique est tracée en rouge et l’ajustement de la courbe en pointillés noirs. Un ajustement de la courbe (en pointillés noirs) appliquée sur cette moyenne est comparé avec l’expression théorique (courbe en rouge) donnée dans l’équation (4.7). Un bon accord est remarqué entre ces trois courbes, ce qui nous permettra d’identifier les paramètres physiques de la barre. Le tableau 4.1 nous indique les longueurs estimées des barres de différentes tailles à partir de la moyenne des enveloppes reçus sur les 28 récepteurs. La comparaison avec les valeurs réelles est remarquable.  Barre d’alu. Longueur Valeur réelle (m) Valeur estimée (m) Erreur relative (%) Barre #1 (Fig. 4.4-a) 2 1, 94 3 Barre #2 (Fig. 4.4-b) 1 0, 973 2, 7 Barre #3 (Fig. 4.4-c) 0, 5 0, 48 4 Table 4.1 – Résultats numériques obtenus après un moyennage des enveloppes au carré des signaux reçus sur 28 récepteurs. Estimation de la longueur L des barres d’aluminium (voir la figure 4.4), et comparaison à leurs valeurs réelles. Ici encore, nous montrons que la technique d’intégration de Schroeder est plus efficace que le calcul de la moyenne des enveloppes au carré en termes de convergence vers la fonction théorique (Équation 4.12) et permet donc de compenser la faible densité de paquets d’onde. La figure 4.7 présente la moyenne des intégrales de Schroeder (courbe numérique en bleu) sur 4 capteurs aléatoirement repartis sur une barre. Un très bon accord avec la courbe ajustée (en noires pointillées) et la courbe théorique (en rouge) est observé.