Extension à la continuité sur l’espace de Hardy 

Contexte historique

Inégalités de Strichartz

Les inégalités de Strichartz furent initialement introduites par Strichartz dans [Str77] en 1977 pour l’équation des ondes dans l’espace Euclidien. Par la suite, on peut citer les travaux de Ginibre et Velo [GV92] qui étendent ces inégalités notamment à l’équation de Schrödinger, et enfin l’article plus récent de Keel et Tao (1998) qui donne la plus grande plage d’exposants p et q pour lesquels l’estimation est valable dans [KT98]. On dit que les estimations sont globales en temps lorsque t ∈ R dans (1.1.8). Dans certaines situations, on ne peut prendre t que dans un intervalle de temps fini, on dit alors que les inégalités sont locales en temps.

Espaces H1 et BMO

On le rappelle, le point clé pour obtenir des estimations de Strichartz est l’estimation de dispersion L 1 − L ∞ (1.1.5). En effet la machinerie de Keel et Tao [KT98] repose sur un argument T T ∗ , l’inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, et l’interpolation avec L 2 , et ces techniques sont robustes, au sens où elles peuvent s’adapter à de nombreuses situations. Cependant, l’estimation (1.1.5) est en général difficile à montrer. Depuis 2001 déjà, on sait d’après Klainermann [Kla01] par exemple, qu’il est suffisant de prouver à la place une estimation de dispersion H 1 − BMO. Les espaces de Hardy H 1 (dit aussi de Coifman-Weiss [CW77]) et BMO (“Bounded Mean Oscillations” introduit par John-Nirenberg [JN61] dans les années 1960) apparaissent naturellement en Analyse Harmonique comme une extension de l’échelle des espaces de Lebesgue (L p ) 1<p<+∞ lorsque p → 1 pour H 1 etp → +∞ pour BMO. On rappelle ici leurs définitions :

Équation des ondes

Comme nous le verrons ultérieurement, notre démarche nous amène à étudier les liens entre l’équation de Schrödinger et l’équation des ondes. Plus particulièrement, on s’intéresse au problème suivant.

Inégalités de Strichartz avec perte de dérivées par une méthode liée au semi-groupe de la chaleur

Ce chapitre a pour but de donner un analogue général des inégalités de Strichartz obtenues par Burq, Gérard, et Tzvetkov [BGT04b] et Staffilani et Tataru [ST02] dans un cadre éventuellement compact ou non compact. De plus, l’approche que nous proposons est nouvelle, reposant uniquement sur le semi-groupe de la chaleur, de façon à comprendre les liens analytique entre le semi-groupe de la chaleur et le groupe unitaire de Schrödinger (tous deux associés à un même opérateur auto-adjoint). Une des nouveautés de ce travail est de contourner l’estimation de dispersion L 1 − L ∞ en cherchant à prouver une estimation plus faible de type H 1 − BMO (pour des espaces de Hardy H 1 et BMO associés au semi-groupe de la chaleur). Ce nouveau point de vue permet de donner un cadre de travail très général (espaces métriques infinis, variétés Riemanniennes avec des métriques non régulières, variétés à bord, . . .) où les inégalités de Strichartz avec perte de dérivées peuvent se réduire à des propriétés de dispersion L 2 −L 2 . On exploitera aussi le lien entre le propagateur des ondes et le groupe unitaire de Schrödinger pour prouver comment la dispersion en temps court pour les ondes implique la dispersion pour le groupe de Schrödinger.

Introduction

Un outil puissant pour étudier des équations de type Schrödinger non linéaires est la famille des inégalités dites de Strichartz. Ces estimations sont utiles pour contrôler la taille de la solution à un problème linéaire en fonction de la taille de la donnée initiale. La notion de taille étant habituellement donnée par un espace fonctionnel adapté du type L. De telles inégalités furent initialement introduites par Strichartz dans [Str77] pour des ondes dans l’espace Euclidien. Elles furent ensuite étendues pas Ginibre et Velo dans [GV92] et Keel et Tao dans [KT98] pour le propagateur associé à l’équation de Schrödinger dans R d . Ainsi pour une donnée initiale u 0 , on s’intéresse au contrôle de la solution u(t, . ) = e it∆ u 0 autemps t du problème linéaire de Schrödinger suivant.

Définitions et préliminaires

Notations

Pour une boule ouverte B(x, r) de X (x ∈ X et r > 0) et un paramètre λ > 0, on note λB(x, r) := B(x, λr) la boule dilatée et concentrique. Une des conséquences de la propriété de doublement (2.1.4) est qu’on peut recouvrir une boule B(x, λr) par Cλ d boules de rayon r, uniformément en x ∈ X , r > 0 et λ > 1 (C ne dépendant que de la constante de doublement). De plus, le volume des boules admet le comportement suivant.

De la Propriété (Hm (A)) aux estimations de dispersion

Le but de cette section est de montrer le Théorème 2.1.1, plus précisément que la Propriété (Hm(A)) implique des inégalités de dispersion H 1 − BMO et L p − L p 0. L’idée principale derrière ce résultat est de prouver la continuité voulue sur les atomes, puis d’en déduire la continuité sur l’espace de Hardy H 1 tout entier, et enfin d’interpoler avec la continuité L 2.Dans toute cette section, on fixe un entier assez grand M ≥ max(3, 3 4+ 3d 8 ), ce qui nous permet de considérer la notion d’atomes et d’espace de Hardy H 1 , construit avec ce paramètre. Comme on l’a noté dans la Remarque 2.2.10, cela nous assure aussi que l’on peut trouver un entier.

Extension à la continuité sur l’espace de Hardy

Après avoir prouvé que l’opérateur T (du Théorème 2.1.1) est borné sur les atomes, on souhaite maintenant montrer que T est borné de l’ensemble de l’espace de Hardy H 1 vers son dual (H 1 ) ∗ (et plus précisément vers BMO) avec une norme contrôlée par A.

Application aux inégalités de Strichartz

Dans cette section, on veut tirer avantage des estimations obtenues précédemment dans le cas particulier où T est donné par le propagateur de Schrödinger, pour en déduire des inégalités de Strichartz avec perte de dérivées, comme introduites dans [BGT04b].
En particulier, on s’intéresse à des estimations dispersives L p − L p 0 avec une borne polynomiale. Il est naturel de se placer dans le cas d’une mesure Ahlforsrégulière (en plus de la propriété de doublement). On rappelle que l’espace de type homogène X est dit Ahlfors régulier s’il existe deux constantes positives c et Ctelles que pour tout x ∈ X et r > 0 :

Estimations de dispersion localisées sur la diagonale

Introduction

Ce chapitre a pour but de donner des estimations de dispersion localisées autour de la diagonale. Plus précisément on veut, pour une boule B0 fixée, obtenir des estimations de dispersion L p (B0 ) − L p 0 (B0 ) pour tout p ∈ (1, 2). Pour ce faire nous définirons des espaces de Hardy et BMO adaptés à cette localisation “sur la diagonale”. Nous donnerons dans un premier temps un résultat d’interpolation entre ces nouveaux espaces et les espaces de Lebesgue usuels. Ensuite, nous appliquerons ce résultat pour montrer des estimations de dispersion H 1 −BMO et L p (B0 )−L p 0 (B0 ). Enfin nous verrons qu’un bon choix pour la boule B0(via son rayon) nous permet de montrer qu’à l’instar des résultats du chapitre 2, une propriété relativement faible de dispersion sur l’opérateur des ondes permet de prouver une estimation de dispersion microlocalisée L 2 (B) − L 2 ( ˜ B) qui assure les estimations de dispersion H 1− BMO et L p (B0 ) − L p 0 (B0 ). Posons maintenant le cadre de travail de notre étude. On considère un espace métrique mesuré (X, d, µ) équipé d’une mesure de Borel positive et σ-finie µ. On suppose de plus que µ est intérieurement régulière, c’est-à-dire qu’on peut calculer la mesure de tout sous-ensemble A ⊂ X de la façon suivante où la borne supérieure porte sur tous les sous-ensembles compacts de A. On suppose que µ est Alfhors régulière, c’est-à-dire qu’il existe deux constantes positives c et C telles que pour tous x ∈ X et r > 0.

Inégalités de Strichartz

Comme on l’a annoncé dés l’introduction, ce sont les estimations de dispersion L 1 − L ∞ du type du Lemme 1.2.1 qui ont motivé notre travail. Cependant l’estimation L 1 − L∞ semble faire défaut dans certaine situation à cause de paires de points conjugués (voir [HW05]). On trouve dans [Kla01] l’idée qu’une estimation H1 − BMO est aussi bien adapté pour montrer des inégalités de Strichartz. De plus une telle estimation est plus facile à obtenir. On trouve dans [MT12] et [Tay09] des estimations de dispersion H 1 − BMO, mais celles-ci font intervenir les espaces de Hardy et BMO classiques, et non ceux qui sont adaptés à un semi-groupe de la chaleur comme on le propose dans cette thèse.
On regroupe ici quelques références sur différents exemples de situations où des inégalités de Strichartz sont connues. On renvoie le lecteur intéressé aux références des différents chapitre (notamment l’introduction du Chapitre 2).

Perspectives

Pour finir ce chapitre, on propose quelques pistes d’études qui pourraient suivre les travaux de cette thèse.
Une préoccupation majeure dans cette thèse a été l’affaiblissement des hypothèses sur le propagateur des ondes. En effet, c’est la partie la plus délicate de la méthode. Dans l’espace Euclidien R d, une étude de l’application t 7→ kcos(t √ H)k L 2 (B)→L 2 ( ˜ B) permet d’obtenir des estimations (peu précises) de dispersion. Dans un milieu isotrope, on peut conjecturer que kcos(t √ H )k L 2 (B)→L 2 ( ˜ B) ne dépend principalement que de la distance d(B, ˜ B). Ainsi, on espère qu’uniquement à l’aide d’outils abstraits d’analyse fonctionnelle on peut obtenir une certaine propriété de dispersion L2(B) − L2 (B) pour le propagateur des ondes et que les résultats de cette thèse permettent de l’exploiter pour en déduire, dans des situations variées, des inégalités de Strichartz.
Une direction motivante est l’étude précise du lien entre la propagation à vitesse finie de l’opérateur des ondes et les estimations de Davies-Gaffney pour le semi-groupe de la chaleur. En effet le Théorème 3.4 de [CS08] montre que ces deux propriétés sont équivalentes. En s’inspirant des technique d’analyse complexe (Théorèmes de Phragmén-Lindelöf et de Paley-Weiner) mis en jeu dans la démonstration de ce résultat, on est en mesure d’essayer de prouver que les estimations gaussiennes pour le semi-groupe de la chaleur impliquent une certaine propriété de dispersion pour le propagateur des ondes (en plus de la propagation à vitesse finie).
Toujours en s’inspirant de cette preuve, on remarque que c’est ici la transformée de Laplace qui fait le lien entre l’équation des ondes et l’équation de Schrödinger.
En étudiant la transformée de Laplace inverse, on peut donc espérer obtenir des informations sur la dispersion pour le propagateur des ondes à partir de la dispersion pour l’opérateur de Schrödinger (résultat “réciproque” de ceux de cette thèse en quelque sorte). La méthode est robuste, mais semble nécessiter de fortes hypothèses sur le semi-groupe de la chaleur.
Dans le chapitre 4 de cette thèse, on a décomposé l’opérateur des ondes en une somme de deux opérateurs. Un premier qui encode la dispersion loin du bord du cône de lumière, dont on connaît bien la décroissance ; et un second qui contient l’information de ce qui se passe au bord du cône de lumière, sur lequel on ne fait aucune hypothèse. Cette décomposition semble naturelle d’un point de vue de l’analyse fonctionnelle. En effet, si on remarque que la régularité d’un symbole est équivalente à de la décroissance en fréquence, on espère pouvoir montrer une estimation L 1 − L ∞ localisée pour le propagateur des ondes. Il s’agit pour cela de considérer le symbole x 7→ cos(tx) dont la transformée de Fourier a un bonne décroissance en dehors de |x| = t. En s’appuyant sur les techniques de multiplicateurs de Fourier de [KU15], il est raisonnable de penser pouvoir montrer de bonnes estimations pour le propagateur des ondes dans le cadre d’un espace métrique doublant.
Un exemple d’opérateur qui semble convenir pour appliquer nos résultats est celui des opérateurs sous forme divergence. Pour une matrice A donnée, on considère H = −div(A∇). Le cas où la matrice A est constante égale à l’identité correspond à l’opérateur Laplacien usuel. Lorsque la matrice A est elliptique, on peut renvoyer à [Aus07]. Pour une matrice régulière, ces opérateurs sont déjà largement étudiés, et on peut citer la méthode des champs de vecteurs commutants de Klainerman (voir [Kla01]) qui permet d’obtenir des estimations intéressantes. Dans un cadre différentiel, cette méthode semble assez robuste, et permet de se passer d’une étude explicite du noyau de l’opérateur des ondes associé. Un objectif motivant serait de trouver assez de champs de vecteurs commutants avec le d’Alembertien pour étudier le cas où la matrice A n’est pas régulière.
Enfin, Vodev a étudié dans [Vod06a, Vod06b] les estimations de dispersion pour le propagateur des ondes et le propagateur de Schrödinger lorsque H est perturbé par un potentiel régulier V . Pour prolonger ces travaux et montrer des inégalités de Strichartz dans le cas d’un opérateur perturbé non nécessairement régulier, il convient d’utiliser une bonne formule de perturbation. Les difficultés sont alors de comprendre comment le potentiel modifie le cône de lumière afin de pouvoir découper l’espace en des régions “loin du bord du cône” et “près du bord du cône” pour lesquelles les informations sont très différentes.

Table des matières
1 Introduction 
1.1 Le cas Euclidien
1.2 Contexte historique .
1.2.1 Inégalités de Strichartz
1.2.2 Cadre de travail
1.2.3 Espaces H1et BMO
1.2.4 Équation des ondes
1.3 Résultats de la thèse
2 Inégalités de Strichartz 
2.1 Introduction
2.2 Définitions et préliminaires
2.2.1 Notations
2.2.2 Le semi-groupe de la chaleur et le calcul fonctionnel associé
2.2.3 Fonctionnelles quadratiques et espaces de Sobolev associés au semi-groupe
2.2.4 Espaces de Hardy et BMO
2.2.5 À propos de l’hypothèse (Hm(A))
2.3 De la Propriété (Hm(A)) aux estimations de dispersion
2.3.1 Continuité sur les atomes
2.3.2 Extension à la continuité sur l’espace de Hardy
2.3.3 Interpolation
2.4 Application aux inégalités de Strichartz
2.5 Estimations de dispersion pour l’opérateur de Schrödinger à travers l’opérateur des ondes
2.5.1 De la dispersion pour les ondes à la dispersion pour Schrödinger
2.5.2 Une digression à propos de ces propriétés de dispersion et de la mesure spectrale
2.6 Les cas Euclidien et Riemannien
2.7 Propagation des ondes dans l’espace Euclidien
3 Dispersion faible 
3.1 Introduction
3.2 Définitions et préliminaires
3.2.1 Notations
3.2.2 Le semi-groupe de la chaleur et le calcul fonctionnel associé
3.2.3 Espaces de Hardy et BMO
3.2.4 Motivation de l’hypothèse
3.3 Preuves des Théorèmes
3.3.1 Estimations de dispersion pour l’opérateur de Schrödinger
3.3.2 Inégalités de Strichartz
4 Dispersion localisée 
4.1 Introduction
4.2 Définitions et préliminaires
4.2.1 Notations
4.2.2 Espaces de Hardy et BMO
4.3 Inégalités aux bons lambdas
4.4 Interpolation
4.5 Estimations de dispersion pour le propagateur de Schrödinger
4.6 Dispersion pour Schrödinger à partir de l’opérateur des ondes
5 Exemples 
5.1 Espaces de type homogène
5.2 Estimations sur le semi-groupe
5.2.1 Estimations du noyau de la chaleur
5.2.2 Estimations de Davies-Gaffney
5.3 Hypothèses sur le propagateur des ondes
5.4 Inégalités de Strichartz
5.5 Perspectives
Bibliographie