Existence de solutions fortes au problème d’interaction fluide

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À propos de la simulation numérique d’un système d’interaction fluide– structure

La diﬃculté principale de la simulation numérique d’un système fluide–structure est que le domaine du fluide change au cours du temps. Pour des raisons de temps de calcul, nous préférons ne pas reconstruire entièrement le maillage à chaque pas de temps. Il faut donc utiliser des méthodes spécifiques qui permettent ou bien d’assurer que le maillage reste conforme au domaine sans générer trop de surcoût de calcul, ou alors utiliser une méthode qui fonctionne sur des maillages non conformes.

La première option est la plus présente dans la littérature, principalement sous le nom de méthode ”Arbitrary Lagrangian Eulerian” (ALE) (voir par exemple [87, 100, 137, 139]). Elle permet avec un surcoût réduit de déformer le maillage pour coller au bord du domaine à chaque instant. Cependant, pour de grandes déformations du domaine fluide, elle peut conduire à un maillage de mauvaise qualité.

Une autre méthode consiste à mener les simulations dans le domaine fixe en résolvan numériquement (25)–(26) au lieu de (22). Cette méthode a pour inconvénient de contenir de très nombreux termes non linéaires du type de ceux de (26), elle a été néanmoins utilisée avec succès dans [116].

Enfin, la méthode que nous avons choisie repose sur l’utilisation de domaines fictifs. Ainsi, il n’est pas nécessaire que le maillage s’appuie sur la frontière du domaine et on peut donc choisir d’utiliser un maillage fixe (qui ne change pas au cours du temps). On peut citer une liste non exhaustive de travaux utilisant ce type de méthode [126, 55, 113, 75, 74, 82, 44, 40].

Étant donné que le maillage ne s’appuie pas sur la frontière du domaine, il faut modifier la formulation variationnelle du problème pour pouvoir imposer les conditions de Dirichlet sur le bord du domaine. Plus précisément, nous introduisons des multiplicateurs de Lagrange. Pour assurer la stabilité du schéma ainsi obtenu, nous devons ou bien choisir correctement les espaces d’approximation des diﬀérentes variables, ou bien ajouter au problème discrétisé un terme de stabilisation. Une alternative aux multiplicateurs de Lagrange est d’utiliser la méthode de Nitsche [119]. Celle–ci est cependant moins intéressante dans le cas d’un système d’interaction fluide–structure, en eﬀet les multiplicateurs sont une variable utile du problème correspondant à la force exercée par le fluide sur la structure. Le paradigme consistant à combiner une méthode de domaines fictifs s’appuyant sur un maillage fixe avec des multiplicateurs de Lagrange, ou la méthode de Nitsche, a été utilisé pour résoudre des problèmes d’interaction fluide–structure dans [142, 3, 43, 109, 53]. Des avancées récentes dans ce domaine ont été présentées dans [27].

À notre connaissance, le contrôle par feedback d’un système fluide–structure simulé par des méthodes de type domaines fictifs est nouveau.

À propos du calcul numérique d’un contrôle par feedback

L’utilisation d’une équation de Riccati pour déterminer un contrôle est classique dans le cadre des équations diﬀérentielles ordinaires. Cependant, dans le cas d’une équation aux dérivées partielles, il est plus rare que cette méthode soit utilisée. En eﬀet, la dimension de la solution du problème de Riccati correspond au carré de la dimension du problème semi–discrétisé et le système considéré est de grande taille, ce qui est prohibitif.

Pour pouvoir résoudre l’équation de Riccati, il faut une méthode de réduction de modèle, voir par exemple [2, 85, 116]. La matrice de feedback est calculée en suivant la même démarche que celle exposée au Chapitre 2 pour le système continu. On étudie la matrice associée aux équations linéarisées en domaine fixe (25) et on calcule la matrice de feedback à partir d’une équation de Riccati de petite dimension, grâce à une projection sur l’espace instable associé au problème. Ces travaux prouvent que la matrice ainsi calculée stabilise le système discrétisé. Dans [116], les simulations sont ensuite menées en domaine fixe.

Dans notre cas, nous utilisons cette méthode pour calculer la matrice de feedback et pour prouver qu’elle stabilise le système (25)–(26). Cependant, étant donné que nous voulons simuler le système en domaine mobile (22), nous ajoutons à la méthode précédente une manipulation qui permet à chaque instant de mener tous les calculs dans le domaine mobile F(θ1, θ2). Le seul calcul qui est eﬀectué dans la domaine fixe Fs est celui de l’opérateur de feedback.

L’originalité de notre travail vient de la modélisation que nous utilisons pour la structure et du fait que l’on calcule l’évolution en temps du système fluide–structure en boucle fermée non pas dans un domaine fixe mais dans le domaine fluide au temps t. Par rapport à [116], nous proposons également une autre version de la démonstration du fait que la matrice de feedback stabilise le problème en domaine fixe.

Stabilisation du problème semi–discrétisé en domaine fixe

On s’intéresse à la discrétisation par éléments finis du problème (22). On considère une solution stationnaire de ce problème (w, pw, ξ1, ξ2) ∈ H3/2(Fs)×H1/2(Fs)×DΘ, qui est solution du problème discrétisé correspondant à (23). Notons que contrairement au Chapitre 2, nous considérons que (ξ1, ξ2) est a priori non nul.

Stabiliser la solution de (22) autour de (w, pw, ξ1, ξ2) revient à stabiliser (25)–(26) autour de (0, 0, 0, 0). Dans la suite, nous nous intéressons au problème linéarisé, nous discrétisons donc le problème en domaine fixe (25). Les conditions de Dirichlet sont mises en œuvre en utilisant un multiplicateur de Lagrange λ. On note U les coordonnées de l’approximation de u, P celles de p et Λ celles de λ. On regroupe l’état du système z = (UT θ1 θ2 ω1 ω2)T et ses multiplicateurs η = (PT ΛT )T . Nous obtenons alors une approximation numérique de (22), avec des termes sources f , g et s nuls, qui s’écrit sous la forme suivante

Mzzz0(t) = Azzz(t) + Azηη(t) + Bh(t), t∈[0, T],

Aηzz(t) = 0, t∈[0, T],(36)

z(0) = z0,

où Mzz ∈ RNz×Nz est la matrice de masse du problème, Azz ∈ RNz×Nz la matrice de rigidité, Azη ∈ RNz×Nη et Aηz ∈ RNη×Nz sont des matrices couplant l’état z ∈ RNz et le multiplicateur de Lagrange η ∈ RNη , enfin B ∈ RNz×2 est la matrice de contrôle.

Dans la suite de ce chapitre, on se place dans un cadre où les équations discrétisées (36) sont bien posées, ce qui correspond à supposer une condition inf–sup portant sur les espaces des fonctions discrétisées. Cette condition sera explicitée dans le Chapitre 3. Elle implique que les matrices Azη et Aηz sont de rang plein [60, Lemme A.40] (voir aussi [36]) et donc que la matrice AηzMzz−1Azη est inversible. Nous utilisons cette propriété par la suite.

Résultat

Le but de cette étude est de prouver que, dans le système (36), on peut choisir h sous la forme d’un feedback de manière à ce que la solution z décroisse vers 0 au cours du temps à vitesse exponentielle. Plus précisément, on choisit arbitrairement un taux de décroissance δ > 0 et on suppose que l’hypothèse suivante est vérifiée.

Hypothèse (Hf)δ. Tout vecteur propre (z, η) ∈ RNz ×RNη du problème adjoint de (36), associé

à une valeur propre β telle que Re(β) ≥ −δ, qui appartient au noyau de l’adjoint de l’opérateur de contrôle est nul. C’est–à–dire

AzTη0!η !00 !η !⇒

AzzT AηT z z = Mzz 0 z and BT z = 0= (z, η) = 0.

Cette hypothèse, vérifiable numériquement, correspond à la version discrétisée de l’hypo-thèse (H)δ. En l’admettant, on peut montrer le résultat suivant.

Théorème 0.3.1 (Théorème 3.3.19 du Chapitre 3). Pour Nz > 0 fixé. Soit δ > 0 tel que l’hypothèse (Hf)δ soit vérifiée. Alors on peut construire une matrice Kδ,ω ∈ R2×Nz telle que pour toutes données z0 vérifiant les conditions de compatibilité Aηzz0 = 0, une solution du système (36) avec le contrôle donné sous la forme d’un feedback

h(t) = Kδ,ωz(t),

décroît exponentiellement au cours du temps avec un taux δ arbitraire :

∀t ∈ (0, T ], |z(t)| ≤ Ce−δt.

Ce résultat est l’analogue pour le problème discrétisé de la Proposition 2.2.1. Notons que la condition de compatibilité Aηzz0 = 0 correspond à une version discrétisée de la condition de compatibilité continue en domaine fixe.

Plan de la preuve du Théorème 0.3.1

La preuve du Théorème 0.3.1 comporte les étapes suivantes :

— on projette d’abord (36) selon une projection Π définie en (37) afin d’éliminer les mul-tiplicateurs η,

— on eﬀectue ensuite la décomposition spectrale des matrices obtenues,

— enfin, la matrice de feedback est obtenue à partir de la solution d’une équation de Riccati

de petite dimension.

Notons que la preuve suit les mêmes étapes que celle du Théorème 0.2.2, à l’exception de l’argument de point fixe que nous n’utilisons pas ici puisque notre résultat porte sur un système linéaire. Étendre le résultat au cas non linéaire ne devrait pas poser de diﬃculté.

Étape 1 : Problème projeté direct.

Nous voulons écrire un système équivalent à (36) qui ne porte que sur l’état z, c’est–à–dire qui ne fait pas intervenir les multiplicateurs η. Pour cela, nous définissons la projection Π de RNz sur Ker(Aηz) parallèlement à Im(Mzz−1Azη),

Π = I − Mzz−1Azη(AηzMzz−1Azη)−1Aηz. (37)

Il s’agit d’une approximation numérique de ΠHS (la projection orthogonale sur HS défini en (30)) et nous étudions le système projeté

Πz0(t) = AΠ (t) + B(t),t∈[0, T],

(IΠ)z(t) =z0, th[0, T ],(38)

−∈

Πz(0) = Πz0,

où A = ΠMzz−1Azz et B = ΠMzz−1B. Pour z0 vérifiant la condition de compatibilité Aηzz0 = 0, le problème (38) est équivalent au problème (36) au sens où pour toute solution Πz de (38), il existe η choisi convenablement tel que (Πz, η) est solution de (36). La réciproque est vraie. Pour pouvoir appliquer les résultats classiques de la littérature en contrôle, par exemple [24, 54], nous devons travailler avec le système projeté (38) car la contrainte Aηzz = 0 ainsi que le multiplicateur de Lagrange η n’y apparaissent pas. C’est donc ce que nous faisons dans la suite de la preuve.

Table des matières

0 Introduction
0.0 Préambule
0.0.1 Contexte
0.0.2 Le problème étudié
0.0.3 Motivations
0.0.4 Modélisation
0.0.5 Plan du mémoire
0.1 Modélisation du problème et existence de solutions fortes
0.1.1 Présentation
0.1.2 Résultats antérieurs
0.1.3 Les conditions d’entrée et la configuration de référence
0.1.4 Existence de solutions fortes
0.1.5 Plan de la preuve
0.2 Stabilisation locale du système fluide–structure
0.2.1 Présentation
0.2.2 Résultats antérieurs
0.2.3 Propriété de continuation unique et résultat de stabilisation
0.2.4 Plan de la preuve
0.3 Simulations et stabilisation numériques du problème d’interaction fluide–structure
0.3.1 Présentation
0.3.2 Résultats antérieurs
0.3.3 Stabilisation du problème semi–discrétisé en domaine fixe
0.3.4 Calcul numérique de la matrice de feedback
0.3.5 Simulations numériques du système fluide–structure
0.4 Perspectives
1 Existence de solutions fortes au problème d’interaction fluide–structure en
temps petits
1.1 Introduction
1.1.1 Modelling of the problem
1.1.2 Statement of the main result
1.1.3 Scientific context
1.1.4 Outline of the paper
1.2 Existence of solution to the linearized problem
1.2.1 Linearized problem with nonhomogeneous source terms
1.2.2 Linearized problem with nonhomogeneous boundary data
1.3 Local existence of solution to the full problem
1.3.1 The equations in a fixed domain
1.3.2 Proof of Theorem 1.3.1
1.3.3 Proof of the result in the moving domain, Theorem 1.1.5
2 Stabilisation locale du système d’interaction fluide–structure autour d’un
état stationnaire
2.1 Introduction
2.1.1 Modelling of the problem
2.1.2 Statement of the main result
2.1.3 The functional framework
2.1.4 Scientific context
2.1.5 Outline of the paper
2.2 Stabilization of the linearized problem
2.2.1 The linearized problem
2.2.2 Functional framework for the semigroup formulation
2.2.3 Study of the adjoint operator
2.2.4 Construction of a feedback operator
2.2.5 Stabilization of the linear system (2.30)
2.3 Stabilization of the nonlinear closed loop system
2.3.1 The nonlinear problem in a fixed domain
2.3.2 Proof of the stabilization result in the fixed domain
2.3.3 Proof of Theorem 2.1.5
3 Simulations numériques du système d’interaction fluide–structure
3.1 Introduction
3.1.1 Modelling of the problem
3.1.2 Stabilization of the continuous problem
3.2 The semi–discretized approximations
3.2.1 A variational formulation of the continuous problem
3.2.2 Discretization of the variational formulation
3.3 Feedback stabilization of the linearized system
3.3.1 The projected direct system
3.3.2 The projected adjoint system
3.3.3 Spectral decomposition of the operators
3.3.4 The projected systems
3.3.5 Computation of the linear feedback
3.4 Practical computation of the feedback matrix
3.4.1 Equivalence between the eigenvalue problems
3.4.2 A practical way to compute the feedback matrix
3.5 Numerical computations in the fixed domain
3.5.1 The diffeomorphisms used
3.5.2 The numerical eigenvalue problem
3.6 Numerical simulations
3.6.1 The basis functions
3.6.2 The time stepping process
3.6.3 Level–set function and integration method over the cut elements
3.6.4 The inverse diffeomorphism
3.6.5 Numerical results
A Proof of Lemma 1.3.3
A.1 Technical Lemmas
A.2 Detailed proof of Lemma 1.3.3
B The linearized terms
C Independence of the hypothesis (H) with respect to the diffeomorphism
D Proof of Lemma 2.3.2
D.1 Technical lemmas
D.2 Detailed proof of Lemma 2.3.2