Existence de la solution forte et continuité par rapport aux paramètre

 Existence de la solution forte

Commençons par introduire la structure Hilbertienne suivante : H1,1 (D; H) := l’espace de Hilbert obtenu en complétant C ∞(D; H) par rapport `a la norme k u k 2 1,1 = Z D (¯ ¯ ¯ ¯ ∂ 2u ∂t1∂t2 ¯ ¯ ¯ ¯ 2 + ¯ ¯ ¯ ¯ ∂u ∂t1 ¯ ¯ ¯ ¯ 2 + ¯ ¯ ¯ ¯ ∂u ∂t2 ¯ ¯ ¯ ¯ 2 + | u| 2 ) dt. H1 ([0, T2] ; H) := l’espace de Hilbert obtenu en complétant C ∞ ([0, T2] ; H) par rapport `a la norme kϕk 2 1 = kϕk 2 + kϕ 0 k 2 , o`u k.k est la norme dans L2(D; H). De manière analogue on construit l’espace H1 ([0, T1] ; H). Notons par E0 l’espace de Hilbert L2(D; H) × Hf1 ([0, T2] ; H) × Hf1 ([0, T1] ; H) composé des éléments F = (f, ϕ, ψ) telle que k|Fk|2 = kfk 2 + kϕk 2 1 + kψk 2 1 est finie. Hf1 ([0, T2] ; H) × Hf1 ([0, T1] ; H) est le sous-espace fermé de H 1 ([0, T2] ; H) × H 1 ([0, T1] ; H) 3.1 Existence de la solution forte 34 composé des éléments (ϕ, ψ) tels que µ2ψ(0) − µ1ψ(T1) = µ2ϕ(0) − µ1ϕ(T2). H 1,1 0 (D; W1 ) := le sous-espace fermé de H1,1 (D; H) défini par H 1,1 0 ¡ D; W1 ¢ = © u ∈ H 1,1 ¡ D; W1 ¢ : µ1u |t1=0 −µ2u |t1=T1= µ1u |t2=0 −µ2 u |t2=T2 ª , 0 H1,1 (D; H) := le sous-espace fermé de H1,1 (D; H) défini par © u ∈ H 1,1 (D; H) : µ2 ϕ(0) − µ1 ϕ(T2) = µ2 ψ(0) − µ1 ψ(T1) ª , o`u µi est le conjugué de µi . Opérateurs de régularisation (Approximation de Yosida) (Brezis [13], proposition VII.2, p. 102). On définit Aε = I + εA. L’opérateur Aε possède les propriétés suivantes : Pε1 : Aε est auto-adjoint; Pε2 : Aε est uniformément positif : (Aεu, u) ≥ (1 + εc0)|u| 2 , ∀u ∈ D(A), ∀t ∈ D; Pε3 : Aε admet un inverse borné et on a kA−1 ε k ≤ 1 (1 + εc0) ≤ 1; Pε4 : kε AA−1 ε vk = k(I − A−1 ε ) vk −→ 0, ε −→ 0, ∀v ∈ H; Pε5 : A−1 ε est auto-adjoint et commute ave A (AA−1 ε = A−1 ε A). Etablissons maintenant la densité de l’ensemble R(Lλ, µ) dans E. Dans ce but introduisons la condition suivante : (H2) La fonction D 3 t 7−→ A(t) ∈ L (W1 , H) admet des dérivées mixtes A 00 t1t2 (t) = ∂ 2 (A(t)) ∂t1∂t2 , A00 t2t1 (t) = ∂ 2 (A(t)) ∂t2∂t1 par rapport `a la topologie de la convergence simple dans L (W1 , H), et telles que A 00 t1t2 (t)A −1 (t), A00 t2t1 (t)A −1 (t) ∈ L2(D; L (H)). On peut maintenant énoncer le résultat suivant : Théorème 3.1.1 Sous les conditions du théorème 2.3.1 et la condition (H2), l’ensemble R(Lλ, µ) est dense dans E. Démonstration. Nous décomposons la démonstration en deux étapes : 3.1 Existence de la solution forte 35 1 ère étape Nous commençons par le cas λ = 0. Soit alors L0 = ∂ 2 ∂t1∂t2 + A l’opérateur correspondant `a la valeur λ = 0. Soit V = (v, v1, v2) un élément orthogonal `a R(L0, µ), alors pour tout u ∈ H1,1 (D; W1 ) on a hL0, µ u, V iE = hL0 u, vi + hl1µu, v1i + hl2µu, v2i = 0. (54)a Démontrons que V = (0, 0, 0). Comme l1µ et l2µ sont indépendants et les images des opérateurs l1µ et l2µ sont partout denses dans les espaces correspondants, alors pour démontrer que V = (0, 0, 0), il suffit de démontrer la proposition suivante : Proposition 3.1.1 Si pour tout v ∈ L2(D; H), on a hL0u, vi = 0, ∀u ∈ H 1,1 0 (D; W1 ) = © u ∈ H 1,1 (D; W1 ) : l1µu = 0, l2µu = 0ª . Alors v = 0. Preuve. On a hL0u, vi = ¿ ∂ 2u ∂t1∂t2 + Au, vÀ = 0, ∀u ∈ H 1,1 0 (D; W1 ). (54)b A partir de l’équation (54)b, on a ¿ ∂ 2u ∂t1∂t2 , vÀ = − hAu, vi. (55) Posons w = A −1 ε v et h = Aεu, (56) B ∗ 1ε = εA0 t2A −1 ε , B∗ 2ε = εA0 t1A −1 ε , B∗ 0ε = εA 00 t2t1A −1 ε , C∗ 0ε = εA00 t1t2A −1 ε , (57) ”∗ ” désigne le symbole de l’adjoint. Ici h peut ˆetre considérée comme une fonction arbitraire de H 1,1 0 (D; H). D’après les relations : (i) ∂ 2 (Aεu) ∂t1∂t2 = ∂ ∂t1 µ εA0 t2 u + Aε ∂u ∂t2 ¶ = εA00 t1t2 u + εA0 t2 ∂u ∂t1 + εA0 t1 ∂u ∂t2 + Aε ∂ 2u ∂t1∂t2 , (ii) ∂(εA0 t2 u) ∂t1 = εA00 t1t2 u + εA0 2 ∂u ∂t1 , (iii) ∂(εA0 t1 u) ∂t2 = εA00 t2t1 u + εA0 t1 ∂u ∂t2