Exercices théorème de l’énergie cinétique

Exercice n°1

  Un véhicule de masse m = 10⁴ kg est en mouvement sur une route inclinée de l’angle a = 30°  par rapport  au plan horizontal. Au cours de son mouvement, le véhicule est constamment soumis à une force de frottement d’intensité 400 N et son centre d’inertie G décrit la ligne de plus grande pente représentée par l’axe x’x (figure 1).

 1 – Sous l’effet d’une force motrice, développée par le  moteur et de même direction que la ligne de plus grande pente, le véhicule quitte la position A avec une vitesse nulle et atteint la position  B avec la vitesse de valeur 20m.s^-1.Par application du théorème de l’énergie cinétique, déterminer la valeur de la force. On donne : distance AB = 100m, g = 10m.s^-2.
2 – Lorsque le véhicule passe en B, la force motrice est supprimée. Le véhicule continue son  mouvement jusqu’à atteindre la position C où sa vitesse s’annule.
Déterminer la valeur de la distance BC.

Exercice n°2    

1-La piste de lancement d’un projectile constitué d’un solide ponctuel
(S₁), comprend une partie rectiligne horizontale (ABC) et une portion circulaire (CD) centré en un point O, de rayon r = 1m, d’angle au centre= 60°et telle que OC est perpendiculaire à AC (figure 2).
Le projectile (S₁) de masse m₁= 0,5kg est lancé suivant AB de longueur
1m, avec une force horizontale  d’intensité 150N, ne s’exerçant qu’entre A et B. (S₁) part du point A sans vitesse initiale.
a)Déterminer la valeur de la vitesse du projectile au point D. On néglige les frottements et on donne  g=10 m.s^-2 

1. b) Déterminer l’intensité minimale qu’il faut donner à pour que le projectile atteigne D.
2. c) En réalité la piste ABCD présente une force de frottement d’intensité 1N.Déterminer la valeur de la vitesse avec laquelle le projectile quitte la piste en D sachant que BC =0,5m.

2-Le solide (S₁) est placé maintenant sur un banc à coussin d’air assez long.  Il est relié à un solide (S₂) de masse m₂=0,1kg par l’intermédiaire d’un  léger fil inextensible  qui passe dans la gorge d’une poulie supposée  sans masse (figure3) .A la date  t = 0s, on abandonne le solide (S₂) à lui même sans vitesse initiale.
Par application du théorème de l’énergie cinétique :

1. a) Déterminer la valeur de la vitesse du solide (S₂) après un parcours de longueur l =3m. On suppose que les tensions des brins du fil sont constantes.
2. b) Calculer la valeur de la tension du brin vertical du fil lors du parcours précédent.

Exercice n°3

Un skieur de masse m = 80kg aborde une piste incliné de l’angle  a = 30° par rapport à l’horizontale. Il est constamment soumis à une force de frottement d’intensité constante et son centre d’inertie G décrit la ligne de plus grande pente représentée par l’axe Ox associé au repère (O,) (figure 4). Le skieur, partant du point O sans vitesse initiale, est entraîné à l’aide d’un câble dont la tension est parallèle à l’axe Ox. Lorsque le skieur passe par la position A d’abscisse x_A le câble casse. Il continue son mouvement jusqu’à atteindre la position B d’abscisse x_B où sa vitesse s’annule. A l’aide d’un dispositif approprié, on mesure l’énergie cinétique E_c du skieur pour différentes abscisses x de G. Les résultats des mesures ont permis de tracer la courbe E_c = f(x) de la figure 5.
1- Déterminer graphiquement les valeurs de x_A et x_B.
2- Justifier théoriquement l’allure de la courbe en établissant, par application du théorème de l’énergie cinétique, les expressions de E_c pour x appartenant à        [0, 100m] puis à [100m, 120m].
3- Déterminer graphiquement les valeurs de et . On donne g = 10m.s^-2.

Exercice 4

Un skieur de masse m = 90kg aborde une piste verglacée (ABCDE) (figure 1).Le skieur, partant sans vitesse initiale de la position A, est poussé par un dispositif approprié sur le parcours (AB). IL arrive à la position B avec une vitesse qui lui permet d’atteindre avec une vitesse nulle la position C se trouvant à la distance d = 60 m de B. Le tronçon rectiligne BC de la piste fait l’angle =20° avec le plan horizontal et est muni du repère (B,) d’axe Bx parallèle à (BC) et orienté ver le haut.
1-Par application du théorème de l’énergie cinétique, déterminer :
a)la valeur de la vitesse.  On donne : g =10m.s^-2_.
b)la nature du mouvement du skieur entre B et C.
2-Arrivant au point C, le skieur s’aide de ses bâtons pour repartir sur la partie (CD) horizontale et acquiert en D la vitesse de valeur 10m.s^-1 avec laquelle il entame le tronçon circulaire (DE)de rayon r =20m.
a)Déterminer l’expression de la valeur de la vitesse du skieur en un point N du tronçon circulaire, en fonction de , r, g et l’angle q que fait le rayon ON avec le rayon OE.

1. b) Etablir l’expression de l’intensité de la réaction exercée par la piste sur le skieur au point N en fonction de, r, g , et m.
2. c) Calculer la valeur q₀ de l’angle pour lequel le skieur décolle la piste.