Exercices récapitulatifs sur la distribution binomiale

Les solutions présentées ici font rarement appel aux tables des distributions et fonctions de répartition. Il est tout à fait possible d’utiliser ces dernières dans la plupart des exercices. Exercice 6.1 : CD audio : « 5-bit oversampling » Dans un lecteur CD, le canal de transmission des informations ne traite que des 0 et des 1. A cause de perturbations dues à l’électricité statique, chaque chiffre transmis l’est avec une probabilité d’erreur de 1/5. Dès lors, pour éviter une erreur, on transmettra une séquence de cinq 0 au lieu de 0 et de cinq 1 au lieu de 1. Le récepteur décode selon la règle de la majorité. a. Quelle est la probabilité de mauvaise interprétation d’une information ? Soit X, une variable aléatoire ~Bi(5 ; 0,2) représentant le nombre de caractères erronés dans une séquence de cinq chiffres, et F = « L’information est incorrectement décodée. ». P(F) = P(X  3) = 1 – F(2) = 1 – = 1 – 0,328 – 0,410 – 0,205 = 0,057. Donc la probabilité que la transmission d’un caractère binaire soit correcte = 1 – 0,057 = 0,943. b. Une chanson standard de trois minutes est composée de 180.000 signaux digitaux. Quelle est la probabilité qu’elle soit décodée sans erreur ? Soit C = « Tous les caractères décodés sont conformes aux caractères originaux. », P(C) = = 1,273e-4588  0. Exercice 6.2 : Réseau de téléphonie mobile Un réseau de téléphonie mobile sur un territoire donné se compose de n relais et fonctionne un jour donné si, ce jour-là, au moins k relais sont opérationnels.

Par mauvais temps (pluie, neige, …), chaque relais fonctionne avec une probabilité p1, indépendamment des autres. Par temps sec, idem mais avec une probabilité p2. a) Si  désigne la probabilité qu’il pleuve demain, quelle est la probabilité que le réseau fonctionne alors ? Soit S = « Le réseau fonctionne. » ; R = « Le temps sera mauvais demain. ». Et Fi(k) : la fonction de répartition quand X vaut k, , avec X une V.A.D. ~Bi(n, pi), (i = R, ). Donc par LPT : P(S) = P( ).P(S/ ) + P(R).P(S/R) = = b) Si k = 5, combien de relais doit-on installer au total et au minimum pour que le réseau fonctionne quelque soit le climat ? (N.B. p1 = 0,8 ; p2 = 0,95 ; on tolère 0,7 % de pannes.) Il faut P(S) 0,993 par temps de pluie ; donc n tel que Donc, n = 10, voir tables de la fonction de répartition binomiale (Annexe 4 au Chapitre 6). Exercice 6.3 : Design « never fail » Une firme de construction d’ordinateurs veut lancer une nouvelle gamme de micro-ordinateurs « soft fail » et « never fail » en les équipant de plusieurs processeurs qui prennent automatiquement le relais les uns des autres en cas de panne. Ces ordinateurs sont destinés à travailler dans des environnements très perturbés. Ainsi la probabilité de panne d’un processeur vaut-elle 1-p au cours d’une session de travail, indépendamment du fonctionnement des autres processeurs. Cependant pour fonctionner sous la garantie de « never fail », l’ordinateur doit posséder une majorité de processeurs en ordre de fonctionnement.

Pour quelles valeurs de p préfère-t-on un ordinateur à trois processeurs plutôt qu’à 5 ? Soit Fi = « L’ordinateur à i processeurs fonctionne sous la garantie de « never fail. » », (i = 3 ; 5). Soit Xi, le nombre de processeurs en fonctionnement dans un ordinateur à i processeurs. Donc 2p – 1 < 0, soit p < ½. Exercice 6.4 : Le choix d’un jury Un étudiant se prépare à passer un examen oral important. Il se préoccupe de savoir s’il sera en forme ou non. Son opinion est que s’il est en forme, chacun de ses examinateurs le jugera suffisant avec une probabilité de 0,8 et indépendamment des autres examinateurs. Dans le cas contraire, cette probabilité tombe à 0,4. L’étudiant réussit si une majorité de ses examinateurs le juge suffisant. Par ailleurs, il pense avoir deux fois plus de chances d’être en méforme qu’en forme. A-t-il plus d’intérêt à demander un contrôle par 3 que par 5 examinateurs ?Les solutions présentées ici font rarement appel aux tables des distributions et fonctions de répartition. Il est tout à fait possible d’utiliser ces dernières dans la plupart des exercices. Exercice 6.1 : CD audio : « 5-bit oversampling » Dans un lecteur CD, le canal de transmission des informations ne traite que des 0 et des 1. A cause de perturbations dues à l’électricité statique, chaque chiffre transmis l’est avec une probabilité d’erreur de 1/5. Dès lors, pour éviter une erreur, on transmettra une séquence de cinq 0 au lieu de 0 et de cinq 1 au lieu de 1. Le récepteur décode selon la règle de la majorité. a. Quelle est la probabilité de mauvaise interprétation d’une information ? Soit X, une variable aléatoire ~Bi(5 ; 0,2) représentant le nombre de caractères erronés dans une séquence de cinq chiffres, et F = « L’information est incorrectement décodée. ». P(F) = P(X  3) = 1 – F(2) = 1 – = 1 – 0,328 – 0,410 – 0,205 = 0,057. Donc la probabilité que la transmission d’un caractère binaire soit correcte = 1 – 0,057 = 0,943. b. Une chanson standard de trois minutes est composée de 180.000 signaux digitaux. Quelle est la probabilité qu’elle soit décodée sans erreur ?

Soit C = « Tous les caractères décodés sont conformes aux caractères originaux. », P(C) = = 1,273e-4588  0. Exercice 6.2 : Réseau de téléphonie mobile Un réseau de téléphonie mobile sur un territoire donné se compose de n relais et fonctionne un jour donné si, ce jour-là, au moins k relais sont opérationnels. Par mauvais temps (pluie, neige, …), chaque relais fonctionne avec une probabilité p1, indépendamment des autres. Par temps sec, idem mais avec une probabilité p2. a) Si  désigne la probabilité qu’il pleuve demain, quelle est la probabilité que le réseau fonctionne alors ? Soit S = « Le réseau fonctionne. » ; R = « Le temps sera mauvais demain. ». Et Fi(k) : la fonction de répartition quand X vaut k, , avec X une V.A.D. ~Bi(n, pi), (i = R, ). Donc par LPT : P(S) = P( ).P(S/ ) + P(R).P(S/R) = = b) Si k = 5, combien de relais doit-on installer au total et au minimum pour que le réseau fonctionne quelque soit le climat ? (N.B. p1 = 0,8 ; p2 = 0,95 ; on tolère 0,7 % de pannes.) Il faut P(S)  0,993 par temps de pluie ; donc n tel que  0,993 Donc 1 – F(4)  0,993.  F(4)  0,007. Donc, n = 10, voir tables de la fonction de répartition binomiale (Annexe 4 au Chapitre 6). Exercice 6.3 : Design « never fail » Une firme de construction d’ordinateurs veut lancer une nouvelle gamme de micro-ordinateurs « soft fail » et « never fail » en les équipant de plusieurs processeurs qui prennent automatiquement le relais les uns des autres en cas de panne.

Ces ordinateurs sont destinés à travailler dans des environnements très perturbés. Ainsi la probabilité de panne d’un processeur vaut-elle 1-p au cours d’une session de travail, indépendamment du fonctionnement des autres processeurs. Cependant pour fonctionner sous la garantie de « never fail », l’ordinateur doit posséder une majorité de processeurs en ordre de fonctionnement. Pour quelles valeurs de p préfère-t-on un ordinateur à trois processeurs plutôt qu’à 5 ? Soit Fi = « L’ordinateur à i processeurs fonctionne sous la garantie de « never fail. » », (i = 3 ; 5). Soit Xi, le nombre de processeurs en fonctionnement dans un ordinateur à i processeurs.  Donc 2p – 1 < 0, soit p < ½. Exercice 6.4 : Le choix d’un jury Un étudiant se prépare à passer un examen oral important. Il se préoccupe de savoir s’il sera en forme ou non. Son opinion est que s’il est en forme, chacun de ses examinateurs le jugera suffisant avec une probabilité de 0,8 et indépendamment des autres examinateurs. Dans le cas contraire, cette probabilité tombe à 0,4. L’étudiant réussit si une majorité de ses examinateurs le juge suffisant. Par ailleurs, il pense avoir deux fois plus de chances d’être en méforme qu’en forme. A-t-il plus d’intérêt à demander un contrôle par 3 que par 5 examinateurs ?