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EXERCICE 1 (5 points) commun à tous les candidats
Un groupe de vingt-deux personnes décide d’aller au cinéma deux samedis de suite pour voir deux films A et B.Le premier samedi, huit personnes vont voir le film A, et les autres vont voir le film B.
Le deuxième samedi, quatre personnes décident de revoir le film A, deux vont revoir le film B, et les autres vont voir le film qu’elles n’ont pas vu la semaine précédente. Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe. On considère les événements suivants :
A1 : « La personne interrogée a vu le film A le premier samedi » ;
A2 : « La personne interrogée a vu le film A le deuxième samedi » ;
B1 : « La personne interrogée a vu le film B le premier samedi » ;
B2 : « La personne interrogée a vu le film B le deuxième samedi ».
1. a) Calculer les probabilités suivantes :p(A1) et p(A2). (0,5 point)
b) Calculer les probabilités de chacun des événements suivants :. (1 point)
c) Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant, en remplaçant chaque point d’interrogation par la probabilité correspondante. (Aucune justification n’est demandée pour cette question). (1 point)
d) Retrouver à partir de l’arbre pondéré que . (0,5 point)
2. Le prix du billet pour le film A est de 30 F, et de 20 F pour le film B. On appelle X la variable aléatoire égale au coût total, pour la personne interrogée, des deux séances de cinéma.
a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. (0,5 point)
b) Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X. (0,5 point)
EXERCICE 2 (5 points) pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Les points A0 = O ; A1 ; … ; A20 sont les sommets d’un polygone régulier de centre A, à 21 côtés, de sens direct.
Les points B0 = O ; B1 ; … ; B14 sont les sommets d’un polygone régulier de centre B, à 15 côtés, de sens direct.
Soit rA la rotation de centre A et d’angle et rB la rotation de centre B et d’angle .
On définit la suite (Mn) de points par :
M0 est l’un des points A0, A1, A2 , … ; A20 ;
pour tout entier naturel n, Mn+1 = rA(Mn).
On définit la suite (Pn) de points par :
P0 est l’un des points B0, B1, B2 , … ; B14 ;
pour tout entier naturel n, Pn+1 = rB(Pn).
Le but de l’exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l’ensemble S des entiers naturels n vérifiant :
Mn = Pn = O.
1. Dans cette question, M0 = P0 = O.
a) Indiquer la position du point M2000, et celle du point P2000. (1 point)
b) Déterminer le plus petit entier naturel n non nul tel que :Mn = Pn = O. (1 point)
En déduire l’ensemble S. (0,5 point)
2. Dans cette question, M0 = A19 et P0 = B10.On considère l’équation (E) : 7x – 5y = 1 avec xZ et yZ.
a) Déterminer une solution particulière (a ; b) de (E). (0,5 point)
b) Déterminer l’ensemble des solutions de (E). (1 point)
c) En déduire l’ensemble S des entiers naturels n vérifiant Mn = Pn = O (1 point)
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