Évaluation des performances par la Perturbation Singulière

Évaluation des performances par la
Perturbation Singulière

Nous observons dans la plut part des cas, que les transitions du nombre d’appels RT se produisent beaucoup plus rapidement que les transitions du nombre d’appels BE. Dans ce cas particuler des comportements de transitions, nous définissons deux échelles de transitions différentes, une rapide (nombre d’appels RT qui se produisent rapidement) et une lente (nombre d’appels BE qui se produisent lentement). Ce qui nous a permis de proposer une approximation simple et efficace en temps de calcul dans les conditions de la distribution stationnaire du système. En effet, cette approximation appelée perturbation singulière est traitée dans ce chapitre. Nous considérons le système WCDMA en présence de deux classes de service : temps réel (RT) et best effort (BE). Les services de la classe RT ont des ressources dédiées et donc un contrôle d’admission, et les services de la classe BE n’ont pas de contrôle d’admission. Le premier objectif de ce chapitre est de calculer la distribution stationnaire de manière approximative des états d’équilibre du système en nombre d’appels RT et BE. Après cela, nous fournissons explicitement les performances du système. Néanmoins, le fournisseur de service ou l’opérateur peut utiliser cette approche basée sur l’approximation pour évaluer en temps réel avec un calcul rapide des métriques de performances d’appels RT et BE. La perturbation singulière a été définie dans la littérature comme une faible interaction entre les groupes sachant que la forte interaction entre les états de chaque groupe est rapide. La perturbation singulière joue un rôle important dans les chaînes de Markov et surtout pour pouvoir déterminer une approximation simple des probabilités d’états d’équilibre dans lesquels nous pouvons identifier deux échelles de temps : une rapide et une lente. Les transitions entre les groupes sont beaucoup moins fréquentes que celles entre les états dans un même groupe ou bien l’inverse. La perturbation sigulière a fait l’objet de plusieurs travaux de recherche et nous citons par exemple les travaux (Avrachenkov, 2004, 1999; Philips et al., 1981; Altman et al., 2004b; Avrachenkov et Haviv, 2004). Les auteurs dans (Philips et al., 1981), montrent que les chaînes de Markov finies admettant des interactions faibles et fortes, peuvent être décomposées en deux échelles de temps, rapide et lent, en utilisant l’approche de la perturbation singulière. Ils considèrent que les faibles interactions perturbent le système. Ainsi, Les auteurs dans (Altman et al., 2004a), étudient la perturbation singulière et régulière des chaînes de Markov sur un espace d’états dénombrable. Ils considèrent que les probabilités de transition entre les classes ergodiques perturbent le système (transitions rares) pour appliquer la perturbation singulière. Ils trouvent une représentation de la distrubution stationnaire sous forme d’une série de Taylor en fonction du paramètre de la perturbation. Puis, ils étendent leurs résultats vers le processus quasi-naissance et mort dans les files d’attentes. Notre approche est basée sur la modélisation du système par une chaîne de Markov à deux dimensions, dont le premier correspond au nombre d’appels temps réel et le deuxième au nombre d’appels best effort. Afin d’obtenir la distribution stationnaire d’états d’équilibre approximativement, nous utilisons la perturbation singulière avec un processus quasi de naissance et de mort QBD (Latouche et Ramaswami, 1999). Nous considérons deux échelles de temps : une rapide et l’autre lente. Le premier représentant le nombre d’appels RT change rapidement et le deuxième représentant le changement d’appels BE lentement. La perturbation singulière nous a permis de représenter les probabilités d’états d’équilibre comme une série de Taylor. Les termes de cette série donnent une approximation de la distribution stationnaire que nous avons trouvé dans le premier chapitre. Le premier terme de la série donne déjà une très bonne approximation quand le système identifie bien les deux échelles de temps citées auparavant. 

Formulation du problème

Hypothèses

 Les métriques de performances (comme le débit, le temps de séjour et la probabilité de blocage) sont très difficiles à calculer explicitement. Pour cela, dans le chapitre 2, nous avons utilisé l’analyse spectrale pour obtenir la forme explicite de la distribution stationnaire. Certes, la solution exacte trouvée dans le chapitre précédent, nous a permis d’évaluer les performances du système en fonction de certains paramètre du système. Mais il reste difficile à calculer la distribution stationnaire et surtout quand le nombre d’appels RT augmente, car les performances trouvées par l’analyse spectrale dépendent directement de ceux en RT. Donc, quand le nombre d’appels RT augmente, le système va prendre un temps important pour le calcul des performances et s’il y a des erreurs dû aux interférences des évanouissements, d’effet de masque, etc., le système doit refaire tout le calcul mathématique. Ce qui va rendre le système plus lourd au niveau temps de calcul. Dans ce chapitre, nous introduisons une approche simple et rapide permettant d’évaluer en temps réel les performances du système. L’approche est basée sur l’hypothèse suivante : Dans le système WCDMA supportant les services RT et BE, nous supposons que selon les statistiques du canal, les appels BE restent longtemps durant leurs services (comme le cas du service Chat) et ceux en RT prennent généralement moins de temps de service (comme le cas du service voix). Donc, nous construisons deux groupes d’appels dans le système, un représente les transitions rapides causées par les appels RT et l’autre représente les faibles transitions causées par les appels BE. Ensuite, nous formulons mathématiquement une approximation de ces transitions. Ces approximations touchent la matrice des taux de transitions (Q) de la chaîne de Markov décrivant le système, le taux d’arrivée d’appels BE (λBE) et le taux de service µBE. Nous définissons ces approximations comme suit Q(ǫ) = Q0 + ǫQ1 , (3.1) λBE = ǫλBE, (3.2) µBE = ǫµBE, (3.3) où ǫ est un paramètre strictement positif très petit représentant les faibles transitions, λBE est un paramètre strictement positif lié aux taux des arrivées, µBE est un paramètre strictement positif dépendant des taux de services, Q(ǫ) est un générateur correspondant à la chaîne de Markov perturbée ; Q0 est un générateur non perturbé qui correspond à des interactions fortes et ǫQ1 est le terme perturbé correspond aux interactions.

Résultats numériques 

Nous considérons les paramètres suivants. Le débit minimum d’appels RT est 4.75 kbps et le débit maximum est 12.2 kbps. L’énergie sur bruit pour transmettre un bit de type RT est ERT/N0 = 4.1 dB, EBE/N0 = 4.1 dB (Holma et Toskala, 2001), ρBE = 0.55, ρRT = 0.5, RT = 38 kbps et Θ = 1 − 10−5 . Le taux d’arrivée d’appels BE est λBE = 0.209ǫ, leur taux de départ est µBE = 10−5 ǫ et le paramètre de la perturbation est ǫ = 10−3 . La figure 3.1, présente une comparaison de la probabilité marginale d’appels BE, obtenue par les deux méthodes : l’analyse spectrale (voir la première partie du chapitre 2) et la perturbation singulière. Nous avons considéré dans l’approche de perturbation le premier terme de la série de Taylor comme approximation de la distribution stationnaire. Nous remarquons que ce premier coefficient de Taylor donne une très bonne approximation quand le paramètre de la perturbation est suffisamment petit, par exemple ǫ = 10−3 . Les figures 3.3, 3.4 et 3.2, exposent le temps de séjour d’appels BE en fonction du seuil LBE. Nous rappelons que l’hypothèse de l’applicabilité de la méthode perturbation singulière est que les appels BE se produisent moins fréquemment que les appels RT. Nous observons que le premier coefficient d’approximation dans la série de Taylor donne une parfaite approximation dans la figure 3.2. Nous constatons que l’erreur entre la Méthode exacte (analyse spectrale) et la méthode approximative (perturbation singulière) 89 Chapitre 3. Évaluation des performances par la Perturbation Singulière devient significative quand le temps de service d’appels RT décroît (voir les figures 3.3 et 3.4). Ce Phénomène est due au fait que lorsque l’on utilise le premier terme de la série de Taylor, on obtient le comportement limite si ǫ tend vers zéro, c’est à dire, que les transitions du nombre d’appels RT se produisent beaucoup plus rapidement que les transitions du nombre d’appels BE. Toutefois, lorsque le temps de service d’appels RT diminue, les appels RT passent plus de temps dans le système, ce qui veut dire que les transitions du nombre d’appels RT devient de moins en moins lent et nous avons donc les mêmes configurations de transition pour les deux appels RT et BE. Or, ce n’est pas le cas dans notre hypothèse où nous avons supposé deux échelles de transitions différentes, une rapide (nombre d’appels RT qui se produisent rapidement) et une lente (nombre d’appels BE qui se produisent lentement). Néanmoins, le fournisseur de service ou l’opérateur peut utiliser cette approche basée sur l’approximation pour évaluer en temps réel avec un calcul rapide des métriques de performances d’appels RT et BE. Ainsi, le fournisseur peut décider dans ce cas entre la meilleure configuration du choix de seuil LBE et le contrôle d’admission qui améliore l’utilisation de la bande passante. En effet, les performances du système dépendent de plusieurs facteurs : les taux d’arrivée d’appels, la durée moyenne d’appel RT, les effets de masques, …. Ces facteurs changent dynamiquement et le système a besoin de réévaluer les performances à nouveau. Par conséquent, notre approche permet à l’opérateur d’avoir un meilleur CAC et une meilleure utilisation de la bande passante tout en satisfaisant les demandes de qualité de service d’appels RT et BE. Enfin, l’analyse des résultats nous permet de constater que l’erreur entre la solution exacte (méthode d’analyse spectrale) et la solution approximative (méthode de la perturbation singulière) croît quand la durée moyenne de service (1/µRT) d’un paquet de type RT augmente. Cet écart d’erreur est dû au fait que la durée de service (1/µRT) d’un paquet RT augmente alors que les appels en RT restent longtemps dans le système ; ce qui n’est pas le cas dans notre modélisation où nous avons supposé qu’ils varient rapidement dans le système. Il est donc normal que l’approximation soit distincte de la solution exacte.