Évaluation de la nonlinéarité classique

Évaluation de la nonlinéarité classique

Méthodes de mesure du coefficient non linéaire

 Certaines méthodes de mesure du rapport B/A découlent directement de sa définition (I.1.12). C’est le cas des méthodes thermodynamiques I.1.12 et isentropiques I.1.9. D’autres techniques, les méthodes dites d’amplitudes finies, sont basées sur la mesure des distorsions subies par une onde se propageant dans un milieu possédant un rapport B/A non nul.

Méthodes acousto-élastiques 

Ces méthodes regroupent les méthodes thermodynamiques et les méthodes isentropiques permettant de déterminer le coefficient non linéaire B A par la mesure de la variation de célérité de l’onde acoustique dans le milieu de propagation. 

Méthodes thermodynamiques 

Le rapport B/A peut être estimé si un certain nombre de propriétés thermodynamiques du matériaux sont mesurées. Si les variations de célérité sont étudiées pour une large plage de pressions hydrostatiques (à température constante) et pour une large plage de températures (à pression constante), les dérivées partielles de l’équation peuvent être calculées. On peut ainsi déterminer le rapport B/A avec la connaissance des paramètres ρ0, c0, αT et Cp du matériau. Le principal intérêt de cette méthode, introduite en 1960 par Beyer [49, 50], est qu’il n’est pas nécessaire de connaître parfaitement les caractéristiques des transducteurs utilisés pour la mesure de la célérité, contrairement aux méthodes d’amplitude finie (développées dans la partie 2.1.2). En effet, une mesure du temps de vol suffit à déterminer avec suffisamment de précision la célérité si l’on connaît parfaitement la distance séparant le transducteur d’émission de celui de réception. De plus, la pression et la température peuvent être mesurées avec une grande précision. On peut obtenir typiquement une précision d’environ ±3% pour les fluides et ±5% pour les tissus biologiques. Néanmoins, le principal inconvénient de cette méthode est le fait d’imposer au matériau de fortes variations de pression (environ 100 à 200 fois la pression atmosphérique) et de température (environ 30˚C). Ces fortes variations sont nécessaires à l’obtention des dérivées partielles de la célérité. De plus, de telles variations ne peuvent pas être générées in situ et risquent d’endommager de manière irréversible les échantillons testés. Enfin, les grandeurs thermodynamiques αT et Cp (éq. (I.1.11)) ne sont pas toujours faciles à obtenir. Cependant certains auteurs ont montré que l’utilisation des valeurs de αT et Cp pour l’eau n’introduisent que peu d’erreur dans la détermination du coefficient non linéaire pour certains matériaux [51]. Enfin, une méthode thermodynamique relative a été mise au point par Sarvazyan et al. [52]. Elle permet de mesurer les variations du coefficient non linéaire dans des solutions d’acides aminés ou de protéines en fonction de leurs concentrations avec une précision d’environ 0, 3%. 

Méthodes isentropiques 

L’expression (I.1.9) montre que le rapport B/A peut être simplement déterminé en mesurant la variation de célérité induite par une variation isentropique de pression et en multipliant le résultat par le terme constant 2ρ0c0. Comme la méthode thermodynamique, elle ne nécessite pas de calibration des transducteurs utilisés pour la mesure de célérité. De plus, cette méthode isentropique ne requiert pas la connaissance d’autres grandeurs thermodynamiques du matériau testé. La mesure de variation de la célérité à une variation isentropique de la pression peut être effectuée de différentes manières. La première idée qui a été exploitée par Emery et al. [53] consiste à mesurer la phase d’un train d’ondes lors d’une variation rapide de la pression hydrostatique dans un système où la distance entre l’émetteur et le récepteur est constante. Dans ce cas, la variation de pression requise est seulement de 1 ou 2 atmosphères [54]. En 1984, Seghal et al. [55] ont introduit une méthode utilisant la mesure de la phase d’une onde continue, associée à une varia- 29 tion de pression rapide d’environ 67 atmosphères. Bien que plus précise, cette méthode ne peut être utilisée que pour les matériaux présentant une atténuation suffisante pour éviter l’apparition d’onde stationnaire, ce qui n’est pas le cas des matériaux fissurés. La détection doit intervenir lors de l’apparition de fissures qui ne peuvent pas augmenter significativement l’atténuation. Il a aussi été envisagé d’utiliser deux récepteurs séparés par une distance connue [56] ou une cavité résonante associée à une boucle à verrouillage de phase [57], afin de mesurer les variations de célérité avec une très grande précision. Du fait de sa bonne précision et des faibles volumes d’échantillons nécessaires [58], la méthode isentropique a été souvent utilisée pour mesurer le coefficient non linéaire de tissus biologiques [55]. 

Méthodes d’amplitude finie 

Les méthodes d’amplitude finie sont basées sur le fait que le taux de distorsion d’une onde acoustique se propageant dans un matériau est proportionnel au rapport B/A, à son amplitude et à sa fréquence. On peut donc estimer le rapport B/A en mesurant les déformations subies par une onde sinusoïdale d’amplitude finie à une certaine distance d’un émetteur. Les données expérimentales de mesure du taux de distorsion sont comparées à un modèle théorique, fournissant ainsi le coefficient non linéaire. On peut aussi comparer la perte d’énergie par la composante à la fréquence fondamentale à un modèle théorique [59]. Dans tous les cas, la précision de la mesure est liée aux approximations introduites dans le modèle en comparaison du montage expérimental utilisé. 

Génération d’harmoniques 

Généralement, le taux de distorsion est mesuré en suivant la croissance d’un ou plusieurs harmoniques de l’onde [60, 61]. Une expression très souvent utilisée de l’amplitude de la pression acoustique p2 de l’harmonique 2 à une distance z d’un transducteur ultrasonore de type piston rayonnant à une fréquence f est : p2(z) = p 2 (0)  B A + 2 πfz 2ρ0c 3 0 · D(z)e  α1+ α2 2  z . (I.2.1) Les αi sont les atténuations avec i correspondant à l’indice 1 ou 2 pour respectivement les fréquences du fondamental et du deuxième harmonique. Dans le cas d’une onde plane, le terme de correction de diffraction D(z) = 1. Les approximations effectuées pour obtenir cette expression sont les suivantes : – l’onde est de faible amplitude de telle sorte que l’énergie nécessaire pour générer les harmoniques est négligeable devant l’énergie du fondamental p(0), – l’atténuation α1 est linéairement proportionnelle à la fréquence. La première approximation est facilement réalisable expérimentalement par un choix convenable de la tension fournie au transducteur d’émission. Par contre, la deuxième  approximation est parfois mise en défaut. Dans le cas où l’atténuation n’est pas proportionnelle à la fréquence, elle peut être mesurée séparément aux deux fréquences et ensuite être introduite dans le modèle théorique. Un problème important apparaissant dans cette méthode est qu’il n’est pas possible de dissocier les harmoniques générées par la propagation à travers un échantillon et les harmoniques générés par le système d’excitation lui-même, que ce soit directement de la chaîne électrique (générateur, amplificateur) ou de la pastille piézoélectrique du transducteur. Une méthode alternative développée dans les années 1950 par Westervelt et al. [13,63] permet d’étudier l’interaction paramétrique entre deux ondes ultrasonores colinéaires.

Interaction paramétrique

 Les travaux théoriques sur l’interaction non linéaire de deux ondes ultrasonores (ou en d’autre mot le « scattering » du son par le son) ont commencé avec les études de M.J. Lighthill sur le son induit par les turbulences [15]. Les ondes acoustiques se propageant dans un milieu ayant un comportement non linéaire interagissent les unes avec les autres provoquant l’apparition de composantes aux fréquences harmoniques ou aux fréquences issues de combinaisons des fréquences propagées [64]. Dans le cas de faibles nonlinéarités, l’échange d’énergie le plus important entre les différentes composantes spectrales est observé lorsque les conditions de synchronisation sont satisfaites, c’est-à-dire lorsque les fréquences de combinaison se propagent dans le milieu avec une vitesse d’une onde libre dans un système à la même fréquence. En considérant deux ondes planes dont le déplacement est caractérisé par ui(z, t) = Ai cos 

 Modulation de phase calibrée en contact

Il a été montré [32] que dans le cas d’échantillons solides, les méthodes de détermination du coefficient non linéaire par modulation de phase manquaient de précision lorsque les échantillons étaient immergés entre les deux transducteurs. C’est pourquoi une méthode en contact a été développée au laboratoire en 2002 par Bou Matar et al. (figure 4) [25,31]. En effet, il s’agit dans cette partie d’étendre la méthode de mesure par modulation de phase à une méthode en contact pour les échantillons solides. Comme précédemment, le coefficient non linéaire peut s’écrire : β = c 2 0 e αBF d ω0d  ∆ϕ0 VBF  , (I.2.14) où d est l’épaisseur de l’échantillon considéré. Pour déterminer le coefficient non linéaire β, on remarque qu’il est nécessaire d’évaluer l’indice de modulation de l’onde haute fréquence ∆ϕ0 et la vitesse particulaire VBF à la surface du transducteur. Cette vitesse est déterminée par la méthode de calibration par auto-réciprocité développée au laboratoire en 2002 [31].Un échantillon est placé entre deux transducteurs ultrasonores. Un transducteur haute fréquence (HF), utilisé en émission-réception, sert de sonde. L’autre transducteur basse fréquence (BF) sert de pompe. Le transducteur HF émet un train d’ondes à la fréquence fHF qui se réfléchit sur la face opposée et donc sur le transducteur BF. Au moment de la réflexion, c’est-à-dire au début du trajet retour de l’onde haute fréquence, le transducteur BF génère une impulsion centrée sur la fréquence fBF . L’impulsion est émise avec un retard qui permet d’avoir une interaction entre les deux ondes lors du trajet retour de ’onde haute fréquence. Ce retard est réglé en synchronisant les deux générateurs à l’aide d’un déclenchement externe. 

Dispositif expérimental 

Le dispositif expérimental associé à la mesure en contact du coefficient non linéaire par modulation de phase d’un échantillon solide est présenté sur la figure 5. Un transducteur haute fréquence et un transducteur basse fréquence sont placés de part et d’autre de l’échantillon à tester. Un générateur de fonction HP 3314A émet un train d’ondes à une fréquence comprise entre 15 et 20 MHz (choisie expérimentalement selon l’échantillon testé). Un autre générateur HP 3314A fournit une impulsion (de fréquence centrale fBF ≈ 1, 5 MHz) au transducteur basse fréquence.