Fluctuations d’induction en magnéto hydrodynamique, contributions à l’induction à grande échelle, application à l’effet dynamo

Méthode numérique itérative

Nous décrivons dans cette section les détails de la méthode itérative mise au point dans l’équipe (avant mon arrivée), et qui permet de résoudre l’équation de Poisson dont est solution Bk, en tenant compte des conditions aux limites à l’interface entre le volume contenant le métal et le milieu extérieur. Cette méthode ainsi que sa confrontation au calcul analytique de l’expulsion d’un champ transverse par un mouvement de rotation solide d’une part, et à l’expérience d’autre part, sont largement décrites dans les références aussi , ne décrirons-nous que les éléments essentiels à la compréhension des résultats de ce manuscrit.

Algorithme et implémentation

Le but est donc d’obtenir l’ensemble des coefficients de la série B = X∞ k=1 R k mBk, (II.39) qui représente le champ induit par l’écoulement lorsqu’on lui impose un champ extérieur B0. Il nous faut pour cela résoudre la hiérarchie d’équations de Poisson △Bk = −∇ × (V × Bk−1), (II.40) associée aux conditions aux limites. Nous considérons la situation où un fluide de conductivité homogène est contenu dans un cylindre de rayon R et de hauteur H (de volume V, d’interface S, et de normale sortante n). Dans tous les cas, le milieu extérieur sera supposé isolant. Pour un tel problème, les conditions aux limites associées à Bk ne se réduisent pas à des conditions aux limites de Neumann ou de Dirichlet, mais traduisent le raccordement par continuité de ∇ × Bk et Bk sur la surface S à un champ potentiel dans l’espace isolant. Écrite sous cette forme, l’équation de Poisson peut se résoudre dans la géométrie sphérique mais le problème est un peu plus compliqué pour une forme cylindrique (dommage). On peut toutefois contourner ce problème en s’intéressant aux courants électriques pour lesquels les conditions aux limites sont plus simples puisqu’elles s’écrivent J · n = 0 sur la surface, ne traduisant que le confinement des courants dans l’espace conducteur. Une fois que nous aurons obtenu les courants électriques, il nous sera facile de déduire la topologie du champ induit par la loi de Biot et Savart (valable car V est borné). Pour cela nous écrivons le potentiel électrostatique φ, le champ électromoteur e = V × B, et le courant électrique J = −∇φ + e sous la forme de trois séries : φ = X∞ k=1 R k mφk, (II.41) e = X∞ k=1 R k mek, ek = V × Bk, (II.42) J = X∞ k=1 R k mJk, Jk = −∇φk + V × Bk. (II.43) 36 Chapitre II. La magnétohydrodynamique et le problème de la dynamo La procédure est alors la suivante : • Puisqu’on connaît le champ à l’ordre Bk−1, on peut calculer la force électromotrice ek = V × Bk−1. • Comme Jk est à divergence nulle, il apparaît un gradient de potentiel tel qu’on ait ∇ · (−∇φk + V × Bk−1) = 0. (II.44) Le potentiel électrique vérifie alors l’équation de Poisson △φk = ∇ · (V × Bk−1). (II.45) Les conditions aux limites qui lui sont associées sont alors plus simples puisqu’elles s’écrivent J · n = 0 ⇔ n · ∇φ = n · (V × B). (II.46) Ce n’est autre qu’une condition aux limites de Neumann, et il existe des techniques standard et des solveurs adaptés à la géométrie cylindrique qui permettent de résoudre cette équation. • On connaît alors le courant électrique Jk = −∇φk + V × Bk−1, ce qui permet d’obtenir Bk par la relation Bk(r) = 1 4π Z r ′∈V Jk(r ′ ) × (r − r ′ ) | r − r ′ | 3 d 3 r ′ (II.47) Pour une question de rapidité de calcul, cette relation ne sert que pour le calcul du champ Bk sur la surface S. On obtient alors une condition aux limites de Dirichlet qui permet d’obtenir le champ dans tout le volume en inversant la relation △Bk = −∇×(V×Bk−1). Considérations pratiques : ∗ Avec ce schéma de résolution, le calcul des coefficients Bk est fait à Rm = 1. Pour ce faire, on choisit dans la pratique R = 1, max(| V |) = 1 et λ = 1 lors de la résolution. Puisque de plus l’équation d’induction est linéaire en B0, tous les coefficients sont proportionnels à B0 et nous faisons le calcul pour max(| B0 |) = 1. Une fois fixé le champ de vitesse, l’amplitude du champ appliqué et Rm sont donc les deux seuls paramètres ajustables de la simulation et interviennent après le calcul des coefficients. ∗ La résolution nécessite la résolution d’équations de Poisson avec conditions aux limites de types Dirichlet ou Neumann. Pour éviter les problèmes de divergences en r = 0, nous résolvons alors ces équations sur une grille mixte (cartésienne au centre et cylindrique sur l’extérieur, étirée ou non), avec la bibliothèque Overture [48], qui permet d’utiliser toute une gamme de Poisson solvers utilisant (entre autres) la méthode des différences finies. ∗ Bien sûr, dans la pratique, il faut tronquer la série. Nous choisissons l’ordre de troncature N de l’ordre de 40, ce qui garantit que sur l’ensemble du disque de convergence (Rm ≤ R ∗ m) la différence relative entre la série obtenue à l’ordre N et la série tronquée à un ordre N′ soit inférieur à 1/1000. ∗ Au delà de R ∗ m, nous étendrons le domaine de convergence à l’aide de la méthode de Padé [83], qui suppose que la série est le développement en série d’une fraction rationnelle. Si M. Bourgoin a prouvé que cette approche donne des résultats excellents lorsqu’on II.4. Méthode numérique itérative 37 s’intéresse au mécanisme d’expulsion, nous garderons à l’esprit que cette méthode un peu magique n’est basée (pour l’instant ?) sur aucun théorème général permettant de décider si le prolongement est licite ou non. Nous tenterons donc de rester critiques vis-à-vis du résultat obtenu, surtout lors de la confrontation avec les données expérimentales de VKS2.

Recherche d’un bouclage et lien avec la dynamo cinématique

Nous avons montré qu’on pouvait calculer le champ induit à l’ordre k en connaissant le champ à l’ordre k − 1. En définissant l’opérateur L = −△−1∇ × (V × •) + C.L., nous pouvons écrire formellement la relation liant Bk−1 à Bk sous la forme Bk = LBk−1. (II.48) Nous serons amenés à rencontrer des situations, dans la dernière partie de ce manuscrit, pour lesquelles le champ induit à l’ordre k − 1 sera un vecteur propre de L. On aura alors la condition que nous appellerons de bouclage Bk = γBk−1 ⇔ LBk−1 = γBk−1. (II.49) Deux situations sont alors possibles selon le signe de γ : ∗ si γ est négatif, le bouclage est dit antidynamo puisqu’en ajoutant un terme supplémentaire à la série, on diminue le champ total. ∗ Si γ est positif, alors le champ Bk obtenu par application de l’opérateur L est aligné avec Bk−1 et de même sens. Dans une telle situation, le champ Bk−1 est solution de l’équation △Bk−1 + 1 γ ∇ × (V × Bk−1) = 0. (II.50) Ce qui montre que ce champ magnétique n’est autre que le mode neutre obtenu par étude de stabilité linéaire (mode pour lequel on a B(r,t) = b(r)e pt avec p = 0). Ce bouclage sera alors appelé dynamo et sera associé au seuil R c m = 1/γ. Remarque : Il est très rare de trouver un mode dynamo par itérations successives, et nous serons plutôt amenés à rencontrer des cas pour lesquels on a un bouclage positif en deux itérations. On a alors Bk+2 = γBk avec γ ≥ 0. Le sous-espace engendré par la famille (Bk, Bk+1) est alors stable par l’opérateur L et le vecteur Bd = √ γBk + Bk+1 est un vecteur propre dynamo avec le seuil R c m = 1/ √γ. Dans le cas d’un bouclage positif en deux étapes, on peut donc construire un mode propre de L qui donne un bouclage positif en une seule itération. Ce résultat s’étend comme suit : si pour un champ magnétique B, le plus petit entier n tel que l’on ait L nB = γB donne une valeur propre γ positive, alors on peut construire un vecteur propre de L associé à un bouclage dynamo.

Dispositifs expérimentaux

Les résultats expérimentaux décrits dans la seconde partie du manuscrit ont été obtenus à l’aide de trois dispositifs (VKG à Lyon, VKS2 à Cadarache, et l’expérience du tore à Perm). J’ai donc participé à de nombreuses campagnes de mesures, pour lesquelles la configuration expérimentale précise du dispositif utilisé dépend des effets qu’on cherche à étudier (réponse moyenne, effets des petites échelles, fluctuations aux grandes échelles). C’est donc dans un souci de lisibilité que nous avons choisi de regrouper dans un même chapitre les descriptions des dispositifs expérimentaux, ainsi que celles des écoulements utilisés. Une description exhaustive pouvant rendre l’ensemble un peu lourd, nous avons tenté de dégager les caractéristiques générales de chaque dispositif, et donnerons les détails subtils de chacune des configurations dans les chapitres correspondants. 

L’écoulement expérimental de von Kármán

Nous avons étudié les mécanismes d’induction dans des écoulements pour lesquels le fluide est contenu dans une cuve cylindrique fermée, entre deux disques coaxiaux mis en rotation par des moteurs (figure III.1). Ils appartiennent à la classe des écoulements de von Kármán qui partagent la propriété de pouvoir fournir des écoulement turbulents dans un montage de laboratoire. Plus précisément, lorsque les disques sont munis de pales et donc que l’entraînement du fluide est inertiel, il est possible selon la configuration étudiée d’atteindre des nombres de Reynolds cinétiques de l’ordre de 106 , ce qui assure d’être dans les régimes de turbulence pleinement développée. Ces écoulements ont donc eu un fort succès auprès de la communauté de la turbulence dans les années 1990 − 2000, et ont été largement étudiés tant à l’ENS de Lyon [36, 65], que dans d’autres laboratoires [26, 33]. Ce n’est toutefois pas leurs propriétés de turbulence, mais la structure des écoulements moyens qu’ils permettent d’obtenir, qui possèdent de l’hélicité et de la rotation différentielle, qui les rend particulièrement intéressants dans le cadre de l’instabilité dynamo.

Propriétés de l’écoulement moyen

Lorsque la vitesse de rotation des disques, appelée Ω, est constante dans le temps, la structure moyenne de l’écoulement présente deux configurations très différentes selon qu’un seul disque est en rotation (figure III.2 (a)) ou que les deux disques tournent à des fréquences identiques mais en sens contraire (III.2 (b)). • Un seul disque en rotation, écoulement s1t1 : Dans ce cas, le disque (celui du bas sur la figure) impose un mouvement azimutal, alors qu’à l’opposé de la cuve, l’autre 40 Chapitre III. Dispositifs expérimentaux moteur moteur H R y x z Fig. III.1: Dispositif type d’une expérience de von Kármán en géométrie cylindrique. Le fluide est contenu dans une enceinte cylindrique de longueur H et de rayon R. Le fluide est entraîné de manière inertielle par deux disques coaxiaux, munis de pales, dont la rotation est assurée par des moteurs asynchrones asservis en vitesse. (a) Régime à un disque (b) Régime contrarotatif Fig. III.2: Aspect schématique de l’écoulement moyen pour la configuration s1t1 obtenue lorsqu’un seul disque est en rotation (figure (a)), et pour la configuration s2t2 obtenue pour deux disques contrarotatifs (figure (b)).

L’écoulement expérimental de von Kármán disque impose une vitesse nulle

L’écoulement moyen possède alors une large composante dite toroïdale, qui est quasiment constante sur la hauteur de la cuve, et décroît vers zéro dans une zone proche du disque au repos. Si la présence de pales sur les disques (figure III.4) assure un meilleur entraînement du fluide, elle lui impose aussi d’être éjecté radialement au niveau du disque, ce qui crée un écoulement axial appelé pompage (ou encore recirculation centrifuge). Au voisinage de l’axe, celui-ci est toujours dirigé du disque le plus lent vers le disque le plus rapide, et la présence des parois lui impose de boucler à l’intérieur de la cuve. Cet écoulement dit poloïdal possède donc une structure organisée sur un tore. L’écoulement à 1 disque possède une structure de type s1t1 dans la terminologie de Dudley & James, et possède une forte hélicité cinétique H = R V · ∇ × Vd 3 r. Nous montrons en figures III.3 (a),(b) une coupe θ = cte de l’écoulement mesuré dans l’expérience VKE (Von Kármán Eau) du groupe de F. Daviaud au CEA de Saclay. Ce champ de vitesse a été obtenu pour une rotation positive d’un disque à pales courbes nommé TM60, dont nous montrons une photographie en figure III.4 (c). Propriétés de symétrie : Les propriétés de symétrie de l’écoulement à 1 disque en rotation sont résumées dans le tableau III.1. Nous avons utilisé la configuration “disque droit, Ω > 0” comme convention pour définir un écoulement de pompage VP positif et de composante toroïdale VT positive. • Effet d’un changement de sens de rotation : Lorsqu’on renverse la fréquence de rotation, on renverse par construction la vitesse toroïdale VT = VT eθ sans changer l’écoulement poloïdal VP . Il en résulte que le signe de l’hélicité dépend du signe de la fréquence de rotation. Nous définissons une rotation positive selon la convention de la figure III.4 (c). Elle correspond à une rotation dans le sens des aiguilles d’une montre pour un observateur placé derrière le moteur correspondant. L’hélicité H est donc négative lorsque Ω est positif, alors qu’elle est positive lorsque Ω est négatif. • Effet d’un changement de disque : Lorsqu’on passe d’une rotation positive du disque 1 à une rotation positive du disque 2, on change à la fois le signe de VT et celui de VP . Par conséquent, cette transformation qui est équivalente à une rotation d’angle π autour de Oy se traduit par le changement V → −V et l’hélicité demeure inchangée. • Deux disques en contrarotation, écoulement s2t2 : Dans ce régime les disques tournent à la même fréquence Ω mais en sens opposé l’un par rapport à l’autre (leur fréquence comme définie plus haut est donc de même signe). Il en résulte un fort cisaillement dans le plan médian puisque les deux disques tendent chacun à imposer une vitesse toroïdale en sens contraire. Chaque disque éjectant le fluide radialement, il existe aussi un pompage centrifuge vers le centre de chaque disque, qui se renverse de part et d’autre du plan médian. L’écoulement possède une structure voisine de la configuration s2t2, et est constitué de deux cellules hélicitaires en contrarotation de part et d’autre du plan médian (figure III.2 (b)). Chaque cellule étant équivalente à la rotation d’un seul des deux disques avec une fréquence de signe identique, les hélicités de chaque cellule sont identiques et l’écoulement moyen possède à la fois de la rotation différentielle et de l’hélicité. Comme nous l’avons indiqué au paragraphe II.2.4, ces deux propriétés en font un bon candida pour l’observation de l’effet dynamo. Nous montrons en figure III.3 (c),(d) une coupe expérimentale de l’écoulement obtenu avec les disques de la figure III.4 (c) tournant en contrarotation en sens positif. Nous observons que le gradient du pompage et le gradient de rotation ne sont pas localisés dans une couche limite au voisinage du plan médian, mais sont répartis dans un volume équivalent au tiers du volume total.