Étude d’un écoulement potentiel et faiblement visqueux d’un fluide

Ecoulement autour d’un disque

 Soit B un disque de rayons a>0 centré à l’origine dans le plan complexe et soit w(z) = U(z + a 2 z ) (1.10) pour une constante positive U la vitesse complexe est G(z) = w 0 = U(1 − a 2 z 2 ) (1.11) que nous approchons à l’infini par U. Le potentiel vitesse ϕ et la fonction courant ψ sont déterminés par w=ϕ + iψ. Pour vérifier que l’écoulement est tangente au cercle |z| =a. Il suffit de montrer que ψ = constante sur le cercle |z|=a. En fait pour |z| 2 =zz =a 2 nous avons w(z) = U(z + z) (1.12) comme w est réel sur |z| =a, alors ψ =0 sur le cercle |z| =a. Cette écoulement est montré par la figure ci-dessous Figure 1.2 – écoulement autour d’un disque De (1.11) avec z=ae iθ sur le bord de B (∂B). Nous avons G(z) = U(1 − a 2 a 2e 2iθ ) = U(1 − cos2θ + isin2θ) ainsi la vitesse est nulle en A et C qui sont des points de stagnation et réalise un maximum en B et en D. Par le théoréme de Bernouille p = − ρ 2 kuk 2 + constante. Ainsi la pression est maximum en A et en C et minimum B et en D. Le disque a une circulation nulle parceque G=w 0 et w est une valeur unique. Si w est une fonction analytique définit dans le plan alors we = w(z) + w( a 2 z ), |z| ≥ a est un potentiel décrivant un écoulement à l’extérieur du disque de rayon a>0 mais le comportement peut etre ˆ plus compliqué á l’infini (∞) 1.4 Ecoulement potentiel vortex centré Considérons un cylindre en rotation dans le sens des aiguilles d’une montre dans un fluide au repos. La force cisaillement visqueuse déplaçant autour du cylindre dans les cercles  concentrique. Cette force est dû par la vorticité ξ =-∆ψ. Si nous pouvons faire un arrangement pour que ψ devient la partie imaginaire d’une fonction analytique alors l’écoulement serait irrotationnel. La fonction w(z) = Γlogz 2πiz (1.13) a cette propriété parceque logz = log|z|+iargz. Bien que w(z) n’est pas une valeur unique mais la vitesse complexe G = Γ 2πiz (1.14) est analytique et de valeur unique hors des z=0. Avec Γ la circulation notons que le champs de vitesse est nulle à l’infini. Pour un écoulement potentiel autour d’un disque de rayon a>0 centré en z0 nous pouvons seulement choisir w(z)=Γlog(z−zo) 2πi qui est appelé vortex potentiel. 

Ecoulement presque potentiel á vorticité concentrée sur deux courbes 

Un écoulement presque potentiel est un écoulement oú la vorticité est concentrée dans ces couches minces fluide ; cette écoulement est potentiel à l’extérieur des couches minces, mais il existe un mécanisme de production de vorticité prés de la frontiére. Par exemple considérons l’écoulement autour d’un obstacle comme suit : L’écoulement montrait par la figure ci dessous (1.3) est un écoulement presque potentiel Figure 1.3 – écoulement presque potentiel à vorticité concentrée sur deux courbes avec un tourbillon produit à la frontiére et centré sur deux ligne de courant émenant du corps. Nous imaginons différents écoulement potentiel dans deux régions séparées par ses lignes de courants avec le champs de vitesse discontinu á travers eux. Pour un tel modéle d’écoulement le théoréme de Kutta-Joukowski ne s’applique pas et la traîné peut être différent de zéro. Il y a un certain nombre de situation dans l’ingénieurie où les écoulements réel peuvent être idéalement idéalisés comme presque potentiels. Ces situations se présentent en particulier lorsque l’on considére des corps simplifiés, c’est à dire des corps en forme de réduire la traîné. 1.6 Ecoulement génére par les points vortices dans le plan Supposons que la vorticité dans un fluide est concentré en N vortices c’est á dire des points auxquels le champs de vorticité est singulier localisé en X1, X2, …., XN dans le plan.  La fonction courant de la j ieme vortex, en ignorant les autres vortex pour le moment est donné par ψj = − Γ 2π logkX − Xjk (1.15) Comme le fluide se déplace selon l’équation d’Euler, la circulation Γj associée à chaque vortex reste constante. Le champs de vorticité produit par la j ieme vortex peut être écrit comme ξj = −∆ψj = Γjδ(X − Xj ) oú δ est la fonction Dirac. Cette équation provient du fait que nous acceptons simplement que la fonction Green pour Laplacien dans le plan est donnée par : G(X, X0 ) = 1 2π logkX − X 0 k G satisfait ∆XG(X, X0 ) = δ(X − X0 ). La solution de ∆ψ = −ξ est donnée par la superposition ψ(x) = − ˆ ξ(x 0 )G(X, X0 )dX0 qui dans notre cas réduit par ψ(X) = P N j=1 ψj (X) oú ψj (X) = − 1 2π Γj logkX−Xjk. Le champs de vitesse induit par le j ieme vortex est donné par : Uj = (∂yψj , −∂xψj ) = (− Γj 2π ( y − yj r 2 ), Γj 2π ( x − xj r 2 )) (1.16) où r=kX − Xjk.Soit les vortex se déplaçant tous en fonction du champs de vitesse U(X, t) = X N j=1 Uj (X, t) (1.17) où uj est donné par (1.16) maintenant attendons nous comme il se doit les centres des vortex à se déplacer. Donc par (1.16) Xj se déplace selon l’équation dxj dt = − 1 2π X i6=j Γj (yj − yi) r 2 ij et dyj dt = 1 2π X i6=j Γi(xj − xi) r 2 ij (1.18) où rij = kXi − Xjk. Résumons la construction des écoulements que nous considérons pour cela choisissons Γ1, Γ2, …., ΓN constant et les points initiaux X1 = (x1, y1), X2 = (x2, y2), …, XN = (xN , yN ), dans le plan. Laissons ces points se déplacer selon l’équation (1.18), Uj est définit par (1.16) et U(X, t) = − P N j=1 uj (X, t) cette construction produit des solutions formels de l’équation d’Euler ces solutions vérifient le théoréme de la circulation. Si C est un contour contenant N vortex en X1, X2, …., XN alors la circulation ΓC = − Pn j=1 Γi et ΓC est invariant sous l’écoulement. Toute la relation entre cette solution et la solution de bonne foi de l’équation d’Euler n’est pas facilement apparente. Une telle relation peut toute foi être établi rigoureusement. Un tel systéme de vortex contient des informations   significatives sur la solution de l’équation d’Euler dans une grande variété de conditions. On peut généraliser cette situation en considérant N vortex dans un domaine D de frontiére ∂D. Nous pouvons passer par la même constuction que précédement mais nous devons modifier l’écoulement Uj de la j ieme vortex de telle sorte que U.n=0, c’est la condition au limite appropriée pour que l’équation d’Euler se tient. Nous pouvons arranger cela par l’ajout d’un écoulement Vj à Uj tel que Uj =-Vj sur ∂D. En d’autre terme nous choisissons la fonction courant ψj de la j ieme vortex pour résoudre ∆ψj = ξj = −Γjδ(X − Xj ) avec ∂ψj ∂n = 0 sur ∂D cette équivalence éxige que ψj (x) = −ΓjG(X, Xj ) oú G est la fonction green pour le probléme de Neuman dans une région D. Cette procédure modifiera de maniére appropriée la fonction 1 2π logkX − Xjk et permet de passer comme avant. On suppose par exemple que D est le demi plan y > 0. Alors nous obtenons G par la réflection principale : G(X, Xj ) = 1 2π (logkX − Xjk + logkX − Xˆ jk) Où Xˆ j = (xj , −yj ) est la réflection de Xj à travers l’axe des x comme le montre la figure ci dessous Considérons encore l’équation d’Euler sous la forme suivante : Figure 1.4 – la fonction courant à (x,y) est la superposition de ceux dû aux vortices avec opposition de circulation, localisé à (xi , yi)et(xi , −yi) ∆ψ = −ξ, u = ∂ψ ∂y , v = ∂ψ ∂x , Dξ Dt = 0. On peut écrire ψ = − ˆ ξ(X 0 )G(X, X0 )dx0     Où G(X, X0 ) = π 2 logkX − X0k. Les équations résultantes ressemblent aux équations juste dérivées pour un systéme de point tourbillons. Ici l’intégrale pour ψ ressemble à la formule pour ψ dans le systéme de point tourbillons quelque peu comme une intégrale ressemble à l’approximation d’une somme de Riemann. Ceci suggére qu’un écoulement idéal incompréssible peut être approximé par le mouvement d’un systéme de point vortices. Les systémes vortex fournissent à la fois une heuristique outil dans l’analyse des propriétés générales des équations d’Euler et un point de départ utile par la construction des algorithmes pour résoudre ces équations dans des situations spécifiques. 1.7 Ecoulement induit par les filaments vortex Un filament vortex est un bande de vorticité dans le plan. L’hypothése de faible épaisseur sera utilisée pour caractériser par sa courbe de ligne centrale. La conservation de masse et le transport de vorticité sont utilisés pour décrire la variation dans épaisseur locale et vorticité. La figure ci dessous représente un filament de vortex : Figure 1.5 – un filament vortex dans le plan complexe Le filament vortex z(s,t) est la courbe dans le plan complexe paramétrisé de paramétre s variant avec le temps ; b(s,t) est l’épaisseur de filament locale. 

Dérivation des équations de filament vortex 

L’équation de filament vortex est ici dérivée des premiers principes. La vorticité en tout point est ξ = ∇ ∧ v divv = 0 ⇒ v = ˆz ∧ gradψ. La combinaison de ces deux équations donne ∆ψ = ξ Si le champs de vorticité est compact, cela peut être résolu de façon unique ψ(X) = 1 2π ˆ X0∈R2 ξ(X 0 )logkX − X 0 kdX0  qui conduit à v(x) = 1 2π ˆ X0∈R2 zˆ ∧ (X − X0 ) kX − X0k 2 ξ(X 0 )dX0 C’est la version en 2D de la célébre loi de Biot-Savart. En utilisant l’approximation de petit épaisseur, écrivons dX0 = b(s 0 )dl(s 0 ), ξ = γ(s 0 ). Ainsi, la vitesse auto-induite du filament à un moment donné est v(x) = 1 2π ˆ L γ(s 0 ) zˆ ∧ (X(s, t) − X(s 0 , t0 )) kX(s, t) − X(s 0 , t)k 2 b(s 0 , t)dl(s 0 ) La somme de ceci et de la vitesse externe est la vitesse totale à n’importe quel point du filament, c’est à dire ∂X(s, t) ∂t = U(X(s), t) + 1 2π ˆ L b(s 0 , t)γ(s 0 ) zˆ ∧ (X(s, t) − X(s 0 , t0 )) kX(s, t) − X(s 0 , t)k 2 dl(s 0 ) Oú en notation de variable complexe, ∂z? (s, t) ∂t = U ? (z) + 1 2πi ˆ L b(s 0 , t)|zs(s, t)|γ(s 0 ) kz(s, t) − z(s 0 , t)k 2 dl(s 0 ) Où z=x+iy.Pour fermer le systéme, nous avons besoin d’une équation d’évolution pour l’épaisseur. Cela peut être dérivé en exigeant la conservation de la zone locale de filament vortex Sur l’exigence que la zone reste identique à t et t+δt