ÉTUDE DU PROBLÈMES CALAIRE PAR AMÉTHODE DELAT- COERCIVITÉ

ÉTUDE DU PROBLÈMES CALAIRE PAR AMÉTHODE DELAT- COERCIVITÉ

n électromagnétisme, pour certaines applications, on aimerait travailler avec des compositesqui se comportent comme des matériaux homogènes à permittivité diélectrique ε et/ou perméabilité magnétique µ réelle(s) et négative(s). Comme nous l’avons déjà mentionné,les métaux et les tout récents métamatériaux négatifs peuvent entrer, en première approximation, dans cette catégorie pour certaines plages de fréquences. La modélisation de tels objets soulèvent des questions relativement inhabituelles. Considérons une structure hétérogène composée d’un di- électrique classique et d’un matériau négatif. En raison du changement de signe des paramètres physiques, il n’est pas évident de prouver l’existence et l’unicité du champ électromagnétique pour un terme source donné. Dans ce chapitre, nous commencerons par nous intéresser au cas d’un problème bidimensionnel dans un domaine Ω représentant la structure hétérogène, en régime har- monique en temps avec une excitation de pulsation ω > 0. Dans une telle configuration, de façon classique et comme nous le verrons dans le Chapitre 7, les équations de Maxwell se ramènent à des, ε). Ci-dessus, f désigne le terme source. Nous compléterons cette équation aux dérivées partielles par une condition aux limites sur la frontière. Dans ce chapitre, nous étudierons également le cas de figure (σ, ς) = (ε, 0) modélisant typiquement un problème d’électrostatique en deux ou trois dimensions.

nous imposerons dans un premier temps, une condition de Dirichlet homogène, i.e. u = 0 sur ∂Ω. Nous effectuerons la plupart de notre étude avec cette condition. Nous montrerons dans la Section 1.7 comment on peut traiter le cas de la condition de Neumann. Les résultats que nous allons obtenir pour le problème (1.1) avec condition de Neumann différeront dans certaines configurations de ceux pour le problème (1.1) avec condition de Dirichlet. Par contre, la méthode que nous allons mettre en œuvre, elle, sera la même.n’est pas connue. Ceci vientdu fait que les T sont construits à partir d’un opérateur de relèvement abstrait pour lequel on ne peut pas calculer explicitement la norme. Ici, nous nous proposons de compléter les résultats de [25, 155] de deux façons. Tout d’abord, nous obtenons des valeurs explicites des constantes. D’autre part, nous localisons ces résultats, au sens où nous proposons un critère pour assurer le caractère bien posé de (P), quitte à avoir un noyau et un conoyau de même dimension finie, qui ne dépend que des valeurs des paramètres physiques au voisinage de l’interface entre les deux matériaux. Pour obtenir ces résultats, nous prouvons que A est de type Fredholm d’indice zéro, au moyen d’opérateurs T simples, définis de façon géométrique. Dans ce cas, si l’on possède un résultat d’unicité pour le problème (P) alors il est bien posé. Mais il peut également apparaître un noyau de dimension finie comme nous le verrons plus loin, dans le Chapitre 2, §2.2.2.

Étude de cas élémentaires : des conditions globales

Nous construisons à présent de façon explicite ces opérateurs qui assurent la T-coercivité. Nous travaillons d’abord sur une série de géométries particulières. Dans un second temps, (voir §1.3), nous nous servirons de ces cas particuliers pour traiter des géométries plus générales. Rappelons que nous souhaitons obtenir un critère sur les valeurs de σ pour assurer que A est un isomorphisme de H Terminons ce tour d’horizon des géométries particulières 2D par l’étude du cas où l’interface Σ est régulière mais non nécessairement égale à un segment de droite. Considérons g une fonction à valeurs réelles appartenant à CRemarque 1.2.12 Dans la suite, le Théorème 1.2.10 apparaîtra uniquement comme un outil pour démontrer le résultat plus général concernant les interfaces quelconques. La version que nous avons proposée sera suffisante pour nos besoins et c’est pourquoi nous n’avons pas cherché à affiner la condition sur le contraste.