OMM01
Approche du Mouvement Brownien réel
Introduction
Le mouvement Brownien est une description du mouvement aléatoire de particules qui ne sont soumises à aucune autre interaction que les chocs. En 1827, le biologiste Robert Brown décrit pour la première fois ce phénomène en observant le mouvement de pollens flottant sur l’eau.
Il donne la description suivante :
– la trajectoire d’une particule entre deux chocs est une ligne droite avec une vitesse constante ;
– Lorsqu’une particule rencontre une autre ou une paroi, elle est accélérée.
Ceci a entraîné des progrès considérables dans la théorie cinétique des gaz.
La difficulté réside dans le fait que le mouvement est aléatoire et que statistiquement, le mouvement est nul, il n’y a pas de mouvement d’ensemble (contrairement à un vent ou un courant) :
– A un instant donné, la somme vectorielle des vitesses de toutes les particules s’annule i.e. il n’y a pas de mouvement d’ensemble ;
– Au cours du temps, si l’on suit une particule donnée, le barycentre de sa trajectoire est son point de départ.
On voit donc la difficulté de caractériser un tel mouvement.
En 1905, Albert Einstein donna la solution.
Il démontra que ce qui caractérise le mouvement, ce n’est pas la moyenne arithmétique des positions < X > mais la moyenne quadratique √ < X2 >. Si x(t) est la position de la particule à l’instant t donné, alors
Le mouvement Brownien multidimentionnel
Définition 2.5.1. On appelle mouvement brownien de dimension d une famille de vecteurs aléatoires X = (Xt)t≥0 avec Xt = (X (1) t , X(2) t , …, X(d) t )t≥0 2 où les Xi 1 ≤ i ≤ d représentent des mouvements browniens indépendants construits sur l’espace de probabilité filtré (Ω, F,(Ft)t≥0 , P). La densité de X est alors :
Notion d’Intégrales stochastiques Introduction Dans le cas des modèles à temps discret, la valeur actualisée d’une portefeuille de valeur initiale Vo géré selon la trajectoire autofinancée Φ = (Hn)0≤n≤N s’écrit : Vo + Xn j=0 Hj ( ˜δj − ˜δj−1). Cette valeur apparaît comme une transformée de martingale sous une probabilité pour laquelle le prix de l’actif actualisé (S˜ n)0≤n≤N est une martingale. Dans le cas des modèles à temps continu, nous allons généraliser cette formule à l’aide d’intégrales du type Z t 0 Hs dS˜ s. Cependant les modèles utilisés couramment pour décrire l’actif sont obtenus à partir du mouvement Brownien. Or une des propriétés importantes du mouvement Brownien est que presque sûrement ses trajectoires ne sont nulle part différentiables. Autrement dit, si Xt est un mouvement Brownien, il n’existe pas de points t de R + tels que dXt dt ait un sens. On ne peut donc pas définir l’intégrale précédente par Z t 0 f(s) dXs = Z t 0 f(s) dXs ds ds, on peut donner, cependant un sens précis à ce type d’intégrale par rapport au mouvement Brownien. C’est ce que nous allons faire dans ce paragraphe. 2 On appelle ces intégrales des « intégrales stochastiques ». Définition 2.6.1. Soit Φ = (Φt)t≥0 un processus mesurable adapté et étagé et B = (Bt)t≥0 un Ft – mouvement Brownien à valeurs dans R d issu de zéro. On appelle intégrale stochastique de Φ , l’application J définie par : J(Φ) = Z t 0 Φs dBs pour tout 0 ≤ s ≤ t. Définition 2.6.2. On considère le processus Y, continu à droite et à variation bornée et X, une variable aléatoire mesurable pour tout 0 ≤ S ≤ t , on a : Z t S Xs dYs = X Si 0 et tout t > 0, il existe ψ ∈ E, tel que E Z t 0 |Φs − ϕs| 2 ds ≤ ε Théorème 2.6.5. Il existe une unique application linéaire I de Λ 2 dans M2 c ayant les propriétés suivantes : (i) I(Φ) = J(Φ) (ii) Pour tout Φ ∈ Λ 2 et tout t ≥ 0, E (I(Φ)(t))2 = E Z t 0 |Φs| 2 ds On note I(Φ)(t) = Z t 0 Φs dBs (t ≥ 0). L’application linéaire I a les mêmes propriétés que l’application J déjà étudié. 2.6.2 Intégrales stochastiques relativement aux martingales Soit M = (Mt)t≥0 une (Ft) martingale de carré – intégrable, on va définir une intégrale stochastique Z t 0 Φs dMs qui coïncide avec l’intégrale stochastique construite en (1) quand (Mt) est un mouvement Brownien. On 27 note M2 , l’ensemble des martingales réelles de carré – intégrales, continues à droite, ayant des limites àgauche.
Notion de la formule d’Itô unidimentionnelle
Introduction
Après avoir explicité la notion d’intégrales stochastiques, nous allons maintenant introduire un calcul différentiel sur ces intégrables stochastiques. On appelle ce calcul « le calcul d’Itô » et l’outil essentiel en est la « formule d’Itô ». La formule d’Itô donne, en particulier, la façon de différencier l’application : t −→ f(ωt) si f est une fonction deux fois continûment différentiable. L’exemple suivant prouve quele prolongement naïf du calcul différentiel usuel est voué à l’échec. Supposons l’on veuille « différencier » l’application : t −→ W2 t et l’exprimer en fonction de ”dW2 t ”.
Pour une fonction f(t) différentiable nulle en zéro, on a
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