ETUDE DES MATRICES DE RIGIDITE ASSOCIEES
AUX ELEMENTS FINIS DE HERMITE EN 1-D

Introduction 

Ce chapitre introductif a pour but d’éclairer les fondements théoriques de la méthode des éléments finis, ses champs d’application et les grandes étapes intervenant dans sa mise en oeuvre numérique. Cette étude théorique permettra d’introduire d’une part l’historique et l’évolution de cette méthode, d’autre part les grandes familles d’élément finis. Il existe plusieurs techniques permettant de résoudre les équations aux dérivées partielles. On pense par exemple aux méthodes de différences finies 1 , de volumes finis 2 …. On peut sans aucun doute affirmer que la plus largement répandue est la méthode des éléments.Cette popularité n’est pas sans fondement. La méthode des éléments finis est très générale qui s’applique à la majorité des problèmes rencontrés dans la pratique :problèmes stationnaire ou non stationnaire, linéaire ou non linéaire, définis dans un domaine géométrique quelconque à une, deux ou trois dimensions. De plus, elle s’adapte très bien aux milieux hétérogènes souvent rencontrés dans la pratique par l’ingénieur. Pour dominer ces projets, l’ingénieur a besoin de modèles qui lui permettent de simuler le comportement de systèmes physiques complexes. Il peut ainsi prévoir l’influence de ses décisions au moment de la conception du système. 1. consiste à remplacer les dérivées partielles par des différences divisées ou combinaisons de valeurs ponctuelles de la fonction en un nombres fini de points discrets 2. intègre sur des volumes élémentaires de formes simple, les équations sous formes de loi de conservation 

 Le problème modèle 

Le principe d’un modèle est de remplacer un système complexe en un objet ou opérateur simple reproduisant les aspects ou comportement principaux de l’original(exemple : modèle mathématique ou numérique, modèle réduit, modèle de pensée ou raisonnement). On considère un intervalle Ω =]a; b[ et f : Ω → R. On cherche une fonction u : Ω → R telle que :    −u 0000(x) = f(x) dans ]a; b[ u(a) = u(b) = 0 u 0 (a) = u 0 (b) = 0 (1.1) Les conditions aux limites u(a) = u(b) = 0 et u 0 (a) = u 0 (b) = 0 sur la frontière sont appelées respectivement condition de Dirichlet (homogène) et condition de Neumann (homogène). Ce problème modélise en mécanique des structures, le champ des déplacements d’une poutre encastrée en ses deux extrémités et qui est soumis à des efforts extérieurs, sous l’action desquels elle va se déformer. – Les énergies de déformation dues aux efforts normaux et tranchants sont négligées. – On se place dans le cadre des petites perturbations (petits déplacements, petites rotations et petites déformation). – On se restreint au cas d’une poutre plane. – Les degrés de liberté de chaque noeuds sont choisis de façon à éviter toute cassure d’angle pendant la déformée : le déplacement d’un point est caractérisé par le vecteur U :  v θ  avec θ = dv dx Figure 1.1 – Déplacement dans un élément de type poutre L’objectif de ce mémoire est d’étudier cette déformation et des contraintes internes au matériau qui résultent de l’application de ces efforts extérieurs. Parmi ces efforts on peut citer les forces réparties de densité f(x) appliquées à un solide élémentaire se trouvant au point x intérieur au matériau . 10 L’inconnue que nous cherchons à calculer est U(x), le déplacement de chaque point x sous l’effet des efforts extérieurs. On se propose ici, de résoudre le problème modèle (1.1) par la méthode des éléments finis de Hermite. 

 Historique et évolution de la méthode des éléments finis 1

Historique de la méthode

 Historiquement, l’origine de la méthode peut se trouver dans les travaux de Fermat et Bernouilli en 1743 avec le calcul des variations puis il faut attendre le début du XXeme siècle avec les progrès en analyse avec la méthode de Galerkin. En 1943, Robert Courant introduit le principe variationnel avec des fonctions de base à support locaux ouvrant la voie à une division du domaine. Les structures que les concepteurs sont amenés à étudier sont les plus souvent des assemblages de pièces élémentaires, celles-ci étant tirées des matériaux bruts disponibles dans le commerce. Ces structures sont dons formées de barres,poutres et plaques. Au début du XXe siècle, le concepteur disposait de la théorie de l’élasticité et des modèles simplifiés qui en découlent. Ces formulations ne permettaient pas la résolution de problèmes relatifs aux milieux continus. La première moitié du XXe siècle a connu d’une part le développement des matricielles pour l’étude des structures à base de poutres, et d’autre part celui de approximation et de discrétisation spatiale du domaine pour l’étude des systèmes continus. On retrouve les premières applications véritables de la méthode des éléments en 1956 en mécanique des structures. Un groupe de chercheurs (Turner,Clough et Topp) de Boeing 3 utilisent cette méthode pour calculer la voilure d’un avion. Cependant ce n’est qu’avec le développement des ordinateurs que ces travaux trouvent leurs applications avec les travaux de Zienckiewiz et Argyris qui définiront la méthode en 1960. La méthode des éléments finis est venue unifier les différentes méthodes qui venaient de la précéder. 

 Evolution de la méthode 

Depuis une cinquantaine d’années, grâce à la méthode des éléments finis la mécanique des structures a permis l’analyse des assemblages de barres et poutres. Le comportement de chaque élément de barres ou de poutre est représenté par une matrice de rigidité élémentaire construite grâce aux hypothèses de la résistance des matériaux. A partir des matrices élémentaires nous construisons un système d’équations algébrique en 3. Entreprise d’assemblage d’avions américains 11 utilisant des conditions de continuité des déplacement et d’équilibre des forces aux points de jonction des éléments aux noeuds. La résolution du système d’équations correspond à des sollicitations données conduit aux déplacements de tous les noeuds de la structure. L’apparition des ordinateurs et les besoins de l’industrie aéronautique ont provoqué un développement rapide de la mécanique des structures entre 1950 et 1960. Ce n’est qu’avec le développement des ordinateurs que ces travaux trouvent leurs applications. La méthode connaît alors un développement fulgurant accompagné par le progrès de l’informatique. 

Champs d’application de la méthode des éléments finis

 Aujourd’hui les éléments finis sont un outil majeur ,incontournable en mécanique (fluides et solides ,interactions, structures ), et applicable dans de nombreux domaines impliquant des problèmes d’EDP aux limites comme par exemple en mathématiques financières ou l’électromagnétisme. 

 Application de la méthode dans l’écosystème 

L’évolution actuelle de la technologie amène l’ingénieur à réaliser des projets de plus en plus complexes,coûteux, et soumis à des contraintes de sécurité de plus en plus sévères. Nous pensons aux projets spatiaux, aéronautiques et nucléaires dans lesquels la sécurité est vitale. D’autres types de projets d’envergure sont liés à notre environnement : contrôle de la pollution thermique,acoustique ou chimique,aménagement des cours d’eau, gestion des nappes souterraines, étude de la marée, prévision météoroloqique. Pour dominer ces projets l’ingénieur a besoin de modèles qui lui permettent de simuler le comportement de systèmes physiques complexes. Il peut ainsi prévoir l’influences de ses décisions au moment de la conception du système. 

Application de la méthode dans la physique 

De très nombreux problèmes physiques s’expriment sous formes d’équations aux dérivées partielles soumises à des conditions aux limites particulières : mécanique des solides déformables, mécanique des fluides, conduction thermique, électromagnétisme, électrostatique, chimie, génie atomique…..  Quelques exemples de problèmes mécaniques résolus de manière courante par éléments finis : 1. dimensionnement des structures pour des engins de transports ferroviaire, routier, naval ou aéronautique, 2. dimensionnement de pièces de sécurité en génie civil 3. simulation numérique de crash d’avion ou véhicule Rappelons que l’objectif du dimensionnement est de trouver la bonne dimension, ou le bon matériau, répondant avec une marge de sécurité suffisante à une contrainte donnée : par exemple la charge ou le déplacement. Via la simulation numérique, l’objectif de cette méthode est d’investiguer les domaines difficiles ou dangereux. Par exemple,que se passe-t-il lorsqu’un un TGV prend feu à michemin dans un tunnel ? Quel élément est-il préférable d’améliorer dans les structures ? Il est beaucoup plus aisé d’utiliser une simulation pour chercher à optimiser les paramètres. 

Application da la méthode dans le numérique 

Enfin le calcul de conception dans les bureaux d’études, c’est sans doute le plus répandu car grâce aux outils de calcul simplifié dont disposent les logiciels de CAO 4 modernes, la simulation numérique fait partie des outils de conception pour obtenir un comportement défini à priori qui détermine le dimensionnement, dont le dessin des pièces mécaniques. De nombreux programmes généraux de calcul sont disponibles pour utiliser industriellement la méthode des éléments finis, principalement dans le domaine de la mécanique des solides. Citons par exemple NASTRAN, ASKA…..Les possibilités offertes par de tels programmes sont nombreuses : 1. analyse linéaire ou non linéaire d’un système physique continu 2. analyse statique ou dynamique 3. prise en compte des lois de comportement complexes 4. prise en compte de phénomènes divers (élasticité, thermiques, électromagnétisme, de plasticité,d’écoulement) pouvant être couplés 5. problèmes d’optimisation Au rang des performances de la méthode,remarquons aussi qu’elle n’est pas limitée par une géométrie particulière, il est possible d’étudier des pièces de taille et de forme quelconque.