ETUDE DES INSTABILITES DE RAYLEIGH- BENARD DANS UNE ENCEINTE RECTANGULAIRE

MODELISATION ET FORMULATION MATHEMATIQUES

MODELISATION THEORIQUE

POSITION DU PROBLEME Considérons une enceinte de section rectangulaire de hauteur h ; de largeur L1 et de longueur L. Le fond de cette enceinte, soumis à un flux de chaleur uniforme de densité constante q. La partie supérieure maintenue est la température T1 et les deux autres parois verticales adiabatiques. Il en résulte une convection naturelle thermique et massique dans l’enceinte décrite par les équations classiques de la convection naturelle. Associons à ce modèle un repère cartésien (O, x, z) tel que l’origine O soit placée à l’extrémité inférieure gauche de la cellule. Soient z la coordonnée mesurée positivement dans le sens opposé à celui de la gravité terrestre et x la coordonnée normale à z. Nous posons les hypothèses simplificatrices suivantes • L’écoulement est laminaire et bidimensionnel. • Le fluide est supposé incompressible; à propriétés physiques constantes hormis la masse volumique qui obéit à l’approximation de Boussinesq dans l’équation du mouvement, c’est-à-dire • Le terme de rayonnement; la dissipation visqueuse et le travail des forces de pression sont négligeables dans l’équation de la chaleur. 1.2 FORMULATION MATHEMATIQUE EN VARIABLES PRIMITIVES (V,P) Un fluide de masse volumique en mouvement est régi par les équations de Navier stokes et de l’équation de la chaleur suivantes : v = Condition initiales et aux limites : X = 0 et X = L on a Z = 0 ; q = – λ grad T Z = h ; T = T1 A t = 0 ; = 0 ; T = Tinit Expression de q: LOI DE FOURRIER Un flux thermique à l’intérieur d’un corps est lié à l’existence d’un gradient de température. FOURRIER propose de relier ces deux grandeurs par une relation linéaire. L’interprétation qu’on peut faire c’est que l’effet (le flux) est proportionnel à la cause (le gradient de température. λ : conductivité thermique du milieu en W/ m/K q : vecteur densité de flux Le Signe – rend compte du f ait que l’énergie thermique se propage du chaud vers le froid c’est à dire dans le sens opposé au gradient de température. q = – λ grad T Le flux de chaleur imposé engendre un gr adient de température. Mais on n’a pas un mouvement donc de remonter tant que ce flux n’atteint pas une certaine valeur critique que nous appelons flux critique noté qc. Dans la suite nous allons traiter les cas suivants: • q inférieur ou égal à qc • q supérieur à qc 1er CAS: q inférieur ou égale à qC On n’a un gradient de température mais pas de mouvement, on parle de phénomène de diffusion. Alors le système précédent devient en tenant compte que = . Comme ΔT= 0 alors T= az + B avec B et a des constantes Pour la détermination des constantes on passe aux conditions aux limites. Dans ce cas on a: Avec z = h on a T = entraine B = + h Ainsi l’ expression de la température de base ou de référence est : Tb = + h z Ou bien Avec cette température de base nous allons déterminer la pression de base On a: p = ρ En tenant compte de l’approximation de Boussinesq suivante lorsque T = Tb et Tref = T1 En posant que : ρ (T1) = ρ0 on a ρ ( ) = ρ0 + (Tb – T1) ρ ( ) = ρ0 La quantité βT est appelée coefficient de dilatation thermique. Il faut savoir que le signe – traduit le fait que la masse volumique est une fonction décroissante de la température. Alors: Projetons la relation p = ρ suivant l’axe (oz) On a = – ρg En remplaçant ρ par son expression on a : = – ρ0g En Remplaçant Tb par sa valeur il vient après calcul ρ (Tb) = ρ (T1) + (Tb – ρ ( ) = ρ0 βT = = – ρ0g = – ρ0g Après intégration il vient : En résumé à partir d’un flux critique qc nous avons déterminé une température et une pression de base au delà desquelles on a un mouvement c’est à dire une remontée. 2eme Cas : q supérieurs à qc Quand le flux imposé est supérieur au flux critique dans ce cas on a un mouvement donc une remontée alors la vitesse est différente de zéro. Il faut ajouter aussi qu’on a un gradient de température accompagné de mouvement, on parle de phénomène de brisure. Alors le système précédent devient en tenant compte que V différent de 0.