Etude des grandeurs macroscopiques

Description macroscopique

Perméabilité effective

Nous avons d’après la relation (3.54) que le déplacement relative 0 u est proportionnel au gradient de pression :  En outre, si nous notons :   Nous avons après intégration de (3.74) sur Ω la relation (3.76) : De même pour la relation (3.59) reliant la température  La relation (3.76) est la loi de comportement macroscopique pour la température. Pour le fluide en déplacement, nous obtenons la relation (3.75) qui est loi de Darcy généralisée à la dynamique des fluides incompressibles, où la réponse du milieu poreux à une sollicitation dynamique se trouve aussi contenue dans le coefficient effectif de perméabilité.

Modèle macroscopique : équations fluides

A l’ordre 0 ε : ( ) 2 0 0 1 0 2 0 0 2 0 0 1 0 0 dans 0 dans dans f y f y x s f x f y f f f s u i u p p u u u u u ρ ω ω η ρ ω + ∆ − En moyennant, nous obtenons l’équation de continuité à l’échelle macroscopique : 

Modèle macroscopique : équations solides

Pour les équations de conservations : A l’ordre 1 ε − :   A l’ordre 0 ε :  Par passage à la moyenne, la relation (3.82) devient :  La relation (3.83) est l’equation de conservation à l’échelle macroscopique.
III.3.2.4 Equation macroscopique de « fluide-structure » Ainsi, les équations obtenues pour l’échelle macroscopique sont regroupées dans (3.84). Le comportement macroscopique recherché est en outre décrit par le système (3.84). 

Etude des grandeurs macroscopiques

A propos u et de p Le déplacement relatif est défini au premier ordre par 0 u qui est un champ à divergence nulle. En outre, 0 ij p δ exprime le tenseur taux de contrainte macroscopique. b) K est un tenseur symétrique, défini positif donc inversible Nous ne démontrons que la symétrie de K . Si nous notons m u la solution (3.74) correspondant à un gradient de pression vérifiant (3.85) : 0 2 0 x s im 0  ∇ − = p u ρ ω δ   (3.85) D’autre part si nous faisons n w u = ∈ Ε dans le problème variationnel (3.52), il vient : 2 2 0 f f f m n i j m n i j mn j j u u i d u u d k d y y ωη ρ ω Ω Ω Ω ∂ ∂ Ω + Ω = Ω ∂ ∂    (3.86)  Soit encore ( , ) f m n mn mn V u u k d K Ω = Ω = Ω  (3.87) Mais le premier membre de (3.86) est symétrique par rapport aux indices m et n ; donc K aussi. K K mn nm = (3.88) D’où K possède donc un inverse que nous notons 1 H K− = , et que nous appelons aussi tenseur de conductivité. Par ailleurs, à partir de (3.87) et de la bilinéarité du produit scalaire, pour tout vecteur complexe ξ appartenant à 3 , nous avons : ( ) ( ) 2 0 m n m mn m n m n m V V K u u ξ ξ ξ ξ ξ Ω = = ≥ (3.89) Nous tirons donc que : 0 0 m K u mn m n m ξ ξ ξ = ⇔ = (3.90) Il suffit ensuite de montrer que la nullité de Kmn m n ξ ξ entraine queξ est nul. Pour cela, nous montrons (Sanchez Palencia, 1980) que si tous les Ω f sont connectes, alors pour tout ξ appartenant à 3 , il existew appartenant à V (Ω) tel que w = ξ . Si nous multiplions (3.86) par mξ telle que w = ξ , nous obtenons : ( ) ( ) , n n n n n n V ξ ξ ξ ξ u w w Ω = Ω = Ω Donc d’après (3.90), la nullité deKmn m n ξ ξ entraine bien queξ est nul.