Etude des différentes estimations d’erreur

Pour un problème réel initial, on obtient différents modèles mécaniques dépendant du choix des caractéristiques du matériau, de la charge et de la géométrie de la structure. Excepté dans des cas académiques, il est impossible de déterminer analytiquement la solution exacte des problèmes. Pratiquement on remplace alors le modèle mécanique par un modèle approché, généralement basé sur une méthode par éléments finis, dont on est capable de déterminer la solution, approximation plus ou moins précise de la solution exacte. Au cours de la simulation numérique d’un problème physique on peut distinguer plusieurs origines à l’erreur qui font que la solution obtenue est différente de la solution exacte du problème étudié. Les principales sources d’erreur pour un problème statique sont :– la discrétisation spatiale du problème : dans la méthode des éléments finis, les calculs s’appuient sur un maillage (discrétisation spatiale) associé à la géométrie du domaine dans lequel on désire effectuer la simulation. Leur précision dépend de la taille h des éléments que l’on appelle le pas de discrétisation spatiale. Plus ces derniers sont petits, plus les calculs sont précis et plus la simulation est fiable.et définie comme la différence entre la solution exacte u du problème mathématique et la solution éléments finis uh du problème discret. On cherchera à estimer au mieux l’erreur commise dans la triangulation de notre domaine.

Estimation d’erreur a priori

L’estimation d’erreur a priori permet d’obtenir une borne supérieure de l’erreur à partir des informations a priori sur la solution éléments finis (degré des fonctions d’interpolation, régularité de la solution), la géométrie du domaine (les éventuelles singularités) et le maillage associé (la taille des éléments). L’objectif principal de cette estimation est la prédiction du taux de convergence asymptotique de l’erreur éléments finis ([66, 225]) à une constante près :On détermine ainsi les éléments avec une erreur importante. Si l’estimateur local est grand, on a donc beaucoup d’erreur autour de ce point donc on utilisera des petites mailles. Au contraire si l’estimateur local est petit, on pourra utiliser des grandes mailles. Ainsi les estimations a posteriori servent à effectuer des procédures d’adaptation de maillage que l’on décrira par la suite afin d’optimiser le temps de calcul sur ordinateur. Lorsqu’un estimateur est défini, il faut s’interroger sur les critères et les moyens permet- tant de juger des performances de cet estimateur. Le but de ces estimateurs est d’obtenir des quantités globales et locales qui représentent au mieux la vraie erreur commise lors de l’approximation par éléments finis.

Les premiers travaux dans ce domaine datent de la fin des années 70. Ils ont fait l’objet d’intenses efforts de recherche dans tous les domaines où l’on fait appel à la méthode des éléments finis pour la simulation numérique des différents types de problèmes. Les premiers travaux de recherche sur ce sujet ont été consacrés principalement aux problèmes linéaires unidimensionnel et bidimensionnel. Depuis les estimations se sont enrichies grâce au développement de nouvelles approches, parmi lesquelles on peut distinguer principalement les travaux de Babuska et Rheinboldt [17], qui utilisent les résidus des équations d’équilibre pour construire les estimateurs d’erreur, ceux de Ladevèze [156, 157] qui ont introduit la notion d’erreur en relation de comportement aussi appelée « flux équilibrés » et utilisant des techniques de construction de champs statiquement admissibles, et les travaux de Zienkiewicz et Zhu [242] qui ont proposé un estimateur d’erreur pour un problème d’élasticité linéaire basé sur le calcul de l’écart entre la contrainte éléments finis et une contrainte continue obtenue par une technique de lissage de type moindres carrés. De nos jours, ces trois principales approches ont été largement étudiées et des améliorations ont été proposées. Une revue des différents estimateurs d’erreur a posteriori peut être trouvée dans [4, 18, 106, 231, 232]. Détaillons ces classes d’estimateurs d’erreur dans le cas linéaire a(u, v) = L(v) et l’idée générale de construction, chacun ayant ses spécificités et ses avantages.