Présentation du modèle ARIMA sous contraintes avec la prise en compte de l’indicateur qualité

Comme nous l’avons évoqué dans la section précédente, il est n’est pas sûr que la quantité reçue à la date t correspond à ce qu’on a commandé à la période t-L avec la qualité souhaitée.
Pour prendre en compte cette incertitude, nous allons étendre le modèle ARIMA sous contraintes que nous avons présenté dans le Chapitre 4, en introduisant un indicateur mesurant la qualité des composants reçus.
Cet indicateur servira comme une entrée dans notre modèle. Il peut être évalué préalablement en supposant que le nombre des pièces défaillantes suivent une loi de probabilité connue, ou en divisant la quantité reçue qui correspond aux commandes passées par la quantité totale reçue. Dans ce travail nous nous intéressons à ce dernier cas. Le cas idéal est lorsque les attentes du client ont été honorées et que le client est totalement satisfait. Dans un tel cas, l’indicateur de qualité Z serait égal à 1.

Application

Nous proposons d’étudier le comportement d’un système composé d’un producteur et de son fournisseur. Pour illuster l’application du modèle précédemment défini, nous présentons d’abord les paramètres définissant le système sous étude. A l’aide de la simulation, l’évolution du niveau du stock, et des commandes à lancer, seront déterminés, tout en considérant que la demande suit une marche aléatoire.
Nous introduisons dans ce système la perturbation du flux de produits reçus en introduisant la variation de l’indice de qualité Zt.
Pour ce faire, nous allons introduire cet indicateur de qualité, dans le modèle ARIMA sous contraintes en supposant que la quantité reçue à la période t, ne correspond pas à la quantité commandée à la période t-L.
Nous nous situons dans les cas extrème pour étudier les effets des évènements indésirables sur la qualité des produits reçus, et par conséquent sur la chaîne logistique. Deux cas de figures se présentent :

• Z est aléatoire le long de la simulation. Selon ce scénario la qualité des produits reçus, subi des fortes perturbations, observées pour chaque période.
• Z est déterministe qui vaut 1, avec des dates de perturbations aléatoires ramenant cette valeur à une autre égale à zéro. Avec ce scénario, on suppose que le producteur reçoit des produits selon ses attentes, mais peut se trouver avec une qualité fortement dégradée, qui arrive a perdre toute la quantité reçue, durant des périodes aléatoires.
Pour chaque scénario, nous étudions la vulnérabilité du système à l’aide de la simulation d’une chaîne logistique, modélisée par notre modèle étendu, en examinant les indicateurs des vulnérabilités proposés dans le Chapitre 4.

Présentation des scénarios de perturbation

Pour la suite de ce travail, et afin de valider nos résultats analytiques, deux scénario sont analysés, pour étudier la perturbation sur la qualité des produits.
• Dans le premier cas nous supposons que l’indicateur de qualité est aléatoire avec des variations autour d’une valeur moyenne.
• Dans le deuxième cas l’indice de qualité présente des sauts déterministes prenant deux valeurs 0 ou +1, se produisant à des moments aléatoires (un tel exemple peut présenter le cas de panne machine fréquent).

Cas d’une perturbation aléatoire de qualité

Un exemple de variations aléatoires est quand l’indicateur de qualité tz est ARMA (0,,1) sous contraintes. L’indicateur de qualité est supposé inconnu au préalable. Pour estimer son évolution future, il suffit de procéder comme pour la demande, c’est-à-dire, il faut d’abord observer les données obtenues de l’indicateur, pour le modéliser avec une série chronologique t z , puis et à base de son historique, prévoir son comportement, représenté par la série tzˆ.
Pour simuler tz avec Matlab, nous commençons d’abord, par générer un processus ARMA (0, 1) que nous nommons t  . Pour ce faire, il suffit de générer un bruit blanc et qui suit une loi normale d’espérance 0 et de variance sigma puis, en supposant que la qualité est de moyenne h, cette moyenne sera rajoutée au bruit blanc et., Enfin, après avoir formé
t  , nous effectuons une troncature pour obtenir tz . La troncature est utile pour s’assurer que la qualité soit entre zéro et un.

Cas d’une qualité déterministe avec des dates aléatoires

Le deuxième cas étudié concerne un indicateur de qualité avec des valeurs déterministes présentant des sauts aléatoires. Un exemple typique de ce cas est quand la qualité des produits obtenues est de 1 et passe à zéro durant les l’intervalles [T1, T2] et [T2, T3].
Les dates T1, T2, T3 sont des dates aléatoires qui peuvent être obtenues par la simulation à partir des lois uniformes dans des intervalles donnés.
• Zt =1 représente le cas où la quantité reçue respecte la qualité désirée. Le cas opposé,
• Zt= 0 représente le cas où le fournisseur ne peut pas livrer le produit demandé.
Un tel cas peut être dû à une interruption dans la phase de production (panne de machines, grèves, etc), ou dû à des problèmes du transport.
Pour la clarté du reste de document nous avons résumé ces deux cas de perturbations dans le tableau Tableau 17 ci-dessous.

Simulation sans la prédiction de l’indicateur qualité

Dans cette étape, les défauts de qualité ne sont pas connus et ils ne sont pas encore pris en compte lors des lancements des commandes.
La Figure 6-6 décrit l’évolution du niveau du stock calculée par l’équation (6.2), et la Figure 6-7 trace les commandes Ot lancées. Les commandes lancées se calculent avec les equations (6.3) et (6.4) sans estimation de l’indicateur qualité. En effet l’indicateur t z est supposé égal à 1 et par suite l’indicateur t zˆ est consideré égal à 1.

Etude de vulnérabilité de la chaîne logistique avec le 2ème scénario

Le système est maintenant simulé sous sauts aléatoires de la qualité dont la valeur est comprise entre 0 et 1 à des moments aléatoires. Comme dans l’exemple précédent, le système est en premier lieu, simulé sans la prise en compte de prédicteur de perturbation de la qualité et en second lieu, avec prise en compte du prédicteur de l’indicateur qualité.
Comme représenté dans la Figure 6.7, dans cet exemple numérique entre les dates [0, 117], [147, 224] et [262, 300] , l’indicateur de qualité est à 1, en d’autres termes la qualité est reçu comme prévu au début. Au contraire, entre les dates [118, 146] et [225, 261] l’indicateur de qualité est égal à zéro. Les dates T1 = 117, T2 = 146, T3 = 224 et T4 = 261 sont calculées d’une façon aléatoire selon la loi normale.

Simulation sans la prédiction de perturbation de l’indicateur qualité

Dans un premier temps, nous n’allons pas tenir compte de l’indicateur de la qualité dans le calcul des commandes.
La Figure 6-15 et la Figure 6-16 ci-après, illustrent, respectivement les évolutions de niveau du stock et de la commande.

Conclusion

Dans ce dernier chapitre, nous avons présenté dans un premier temps une extension de notre modèle mathématique au cas de la prise en compte des perturbations liées à la qualité des produits.
Dans un deuxième temps, et pour valider ce modèle nous avons simulé un exemple d’une chaîne logistique à deux étages, pour analyser comment les variations de la qualité et de la demande peuvent affecter les fluctuations du stock et de l’ordre en prenant en compte des contraintes du système.
Dans les deux exemples étudiés, il est clair que sans la prise en compte de l’indicateur de qualité, le système se trouve souvent en forte perturbation et souvent en rupture du stock. Pour remédier à cela, nous avons estimé l’indicateur de qualité, et nous l’avons introduit pour calculer la quantité à commander. Dans ces deux exemples nous avons constaté qu’en cas de rupture de son stock, le producteur commande une quantité qui est souvent supérieure ou égale à la capacité maximale de son fournisseur.
Nous avons également utilisé des indicateurs pour étudier la vulnérabilité du système liée à la violation des contraintes de positivité de niveau du stock et à la saturation de la capacité du fournisseur.