Etude de l’évolution de la déformation du front d’une fissure

Etude de l’évolution de la déformation du front d’une fissure

Quelques éléments théoriques de rupture fragile

Introduction

Cette partie se propose d’exposer les bases théoriques nécessaires à la résolution des problèmes de ruptures fragiles tridimensionnelles abordés dans cette thèse. On présente d’abord les outils classiques de la mécanique de la rupture fragile tridimensionnelle ainsi que les notations et conventions adoptées. En particulier, les Facteurs d’Intensité de Contraintes (FIC) y sont définis. On examine ensuite la version tridimensionnelle des critères de propagation que nous utiliserons plus tard. Il s’agit plus précisement du critère de Griffith sous chargement monotone et de la loi de Paris sous chargement cyclique. Ensuite, le formalisme des fonctions de poids de Bueckner-Rice sera abordé. La version bidimensionnelle de ce formalisme a été initiée par Bueckner (1970) et Rice (1972). Puis son extension tridimensionnelle est apparue pour divers cas particuliers de chargement et de géométrie chez Rice (1985, 1989) et Gao (1986, 1988). Dans cette voie, Leblond et al. (1996) ont établi la variation des FIC pour une fissure en forme de fente infinie chargée en mode 1 et Lazarus and Leblond (2002b) l’ont complétée pour les modes 2 et 3. Cette théorie donne, au premier ordre, la variation des FIC résultant d’une petite perturbation coplanaire du front de fissure, à chargement supposé constant, sous la forme d’une intégrale curviligne étendue à tout le front. Cette dernière fait apparaitre un noyau pour lequel il est également possible de donner une variation au premier ordre. Les formules concernant le mode 1 ont été fournies par Rice (1989) pour une fissure plane de forme arbitraire. La généralisation de ces formules aux modes 2 et 3 a été faite par Favier et al. (2006a).

Les Facteurs d’intensité de contraintes “FIC”

Cas d’une fissure dans un matériau homogène

ex ey ez O e1(s) e2(s) e3(s) δa(s) M(s) F Fig. 1.1 – Vue d’ensemble de la fissure Considérons une fissure plane (cf. figure 1.1) située dans le plan (O,ex,ez). On désigne par F le front de fissure orienté sur lequel on construit une abscisse curviligne s. En chaque point M(s), on construit une base locale orthonormée directe telle que : – e1(s) soit normal au front, situé dans le plan de la fissure et ayant pour sens celui de la propagation, – e2(s) ≡ ey normal au plan de la fissure, – e3(s) = e1(s) ∧ e2(s) soit tangent au front. De plus, on suppose que le milieu est en évolution quasistatique. Considérons le milieu élastique homogène et isotrope, Leblond and Torlai (1992) ont montré que les champs mécaniques, au voisinage du point M(s) du front, résultent de la superposition d’un problème de déformation plane d’une part, et d’autre part d’un problème de déformation antiplane. Si on cherche la forme asymptotique de la solution (u,σ) au voisinage de M(s), on trouve alors les relations suivantes : pour le champ de déplacement au premier ordre [[u1]] (r,s) ∼r→0+ 8 1 − ν 2 E r r 2π K2(s) [[u2]] (r,s) ∼r→0+ 8 1 − ν 2 E r r 2π K1(s) [[u3]] (r,s) ∼r→0+ 8 1 + ν 2 E r r 2π K3(s) (1.1) – pour le champ de contraintes au premier ordre σ21(r,s) ∼r→0+ K2(s) √ 2πr σ22(r,s) ∼r→0+ K1(s) √ 2πr σ23(r,s) ∼r→0+ K3(s) √ 2πr (1.2) K1(s), K2(s) et K3(s) sont les FIC au point M(s)

Cas d’une fissure semi-infinie d’interface

Considérons maintenant la fissure comprise entre deux matériaux élastiques isotropes différents. Dans ce cas, le comportement asymptotique de la solution (u,σ) d’après Hutchinson et al. (1987), vérifie : – pour le champ de déplacement au premier ordre [[uy + iux]] (r,s) ∼ 2 [(1 − ν1)/µ1 + (1 − ν2)/µ2] (1 + 2iǫ)ch(πǫ) K(s) r |r| π |r| iǫ [[uz]] (r,s) ∼ 2 1 µ1 + 1 µ2 K3(s) r |r| π (1.3) – pour le champ de contraintes au premier ordre (σyy + iσyx)(r,s) ∼ K(s)r iǫ √ 2πr σyz(r,s) ∼ K3(s) √ 2πr (1.4) Les facteurs K(s) et K3(s) introduits ci-dessus sont appelés facteurs d’intensités de contraintes (FIC) au point M(s). A noter que dans le cas de la fissure d’interface K(s) est complexe, et peut se décomposer en K1(s) + iK2(s), mais les modes 1 et 2 ne peuvent pas être découplés. 1.3 Lois de propagation Le but de cette partie est de présenter les lois de propagation qui nous seront utiles par la suite. Elles sont basées sur les FIC, donc sur l’état local des contraintes. 16 Quelques éléments théoriques de rupture fragile 1.3.1 Rupture brutale La plupart des matériaux fragiles se cassent pour un chargement critique. Pour ces matériaux, dans le cadre du mode 1, on utilise le critère d’Irwin en chaque point M(s) du front : K1 < Kc =⇒ pas de propagation K1 = Kc =⇒ propagation possible (1.5) Kc est une caractéristique physique du matériau appelée ténacité. En se basant sur un raisonnement énergétique, Griffith (1920) a proposé le critère suivant : G(s) < Gc =⇒ pas de propagation G(s) = Gc =⇒ propagation possible (1.6) où G est le taux de restitution d’énergie. Il s’exprime en fonction des FIC grâce à la formule d’Irwin : G(s) = 1 + ν E (1 − ν)

Table des matières

1 Quelques éléments théoriques de rupture fragile
1.1 Introduction
1.2 Les Facteurs d’intensité de contraintes “FIC”
1.2.1 Cas d’une fissure dans un matériau homogène
1.2.2 Cas d’une fissure semi-infinie d’interface
1.3 Lois de propagation
1.3.1 Rupture brutale
1.3.2 Rupture subcritique ou par fatigue
1.4 Théorie des fonctions de poids
1.4.1 Cas du milieu homogène
1.4.1.1 Définition de la fonction de poids et du noyau fondamental
1.4.1.2 Perturbation coplanaire du front de fissure
1.4.1.3 Cas d’une fissure d’interface semi-infinie
1.5 Conclusion
2 Désordre du front d’une fissure modes 2 et 3
2.1 Introduction
2.2 Cas de la fissure en forme de fente
2.2.1 Définition et notation du noyau fondamental
2.2.2 Expression des variations des FIC dans le cadre du mode mixte 2 et 3
2.2.3 Transformée de Fourier (TF) des expressions des FIC et du taux de restitution d’énergie
2.3 Evolution temporelle en fatigue
2.3.1 Loi de Paris
2.3.2 Evolution en temps des fluctuations des deux fronts
2.3.3 Détermination des équations différentielles ordinaires EDO .
4 TABLE DES MATIÈRES
2.3.4 Résolution de l’équation différentielle (2.22)
2.3.4.1 Cas K2K+
2.3.5 Quelques propriétés de la résolvante
2.4 Etude statistique des évolutions des fronts
2.4.1 Hypothèses sur les fluctuations δc± des constantes de Paris
2.4.2 Les Hypothèses sur les fluctuations δa± des fronts de la fissure
2.4.3 Expression générale du spectre des perturbations des fronts
2.4.4 Etude asymptotique du spectre de la fonction d’autocorrélation de la perturbation
2.4.5 Etude asymptotique de la fonction d’autocorrélation de la perturbation
2.4.6 Etude asymptotique de la fonction d’autocorrélation de la pente
2.4.7 Etude asymptotique de la variance de la fluctuation
2.4.8 Etude asymptotique de la distance d’autocorrélation
2.5 Conclusion
3 Fissure d’interface
3.1 Introduction
3.2 Preliminaries and notations
3.3 The LLPMM formulae
3.4 Distribution of the energy release rate along the crack front
3.4.1 Class of loadings considered
3.4.2 Calculation of the energy release rate
3.5 Deformation of the crack front in fatigue
3.5.1 Paris-type propagation law
3.5.2 Evolution of the perturbation of the crack front 56
3.5.3 Statistical hypotheses
3.5.4 General formula for the power spectrum of the perturbation of the crack front
3.5.5 Asymptotic expression of the power spectrum of the perturbation of the crack front
3.5.6 Comments
3.5.7 Asymptotic expression of the autocorrelation function of the perturbation
3.5.8 Asymptotic expression of the autocorrelation function of the slope of the perturbation
3.5.9 Asymptotic expression of the distance of correlation of the perturbation
3.6 Deformation of the crack front in brittle fracture
3.6.1 Generalities
3.6.2 Asymptotic expression of the power spectrum of the perturbation of the crack front
3.6.3 Asymptotic expression of the autocorrelation function of the perturbation
3.6.4 Asymptotic expression of the autocorrelation function of the slope of the perturbation
3.6.5 Asymptotic expression of the distance of correlation of the perturbation
3.7 Synthesis
4 Etude expérimentale
4.1 Introduction
4.2 Méthode expérimentale de la rupture
4.2.1 Préparation des échantillons
4.3 Montage mécanique
4.4 Détermination théorique de la rugosité du front
4.4.1 Géométrie et loi d’avancée
4.4.2 Evolution temporelle des composantes de Fourier de la perturbation
4.4.3 Etude statistique du désordre du front de la fissure
4.4.3.1 Fonction d’autocorrélation et son spectre
4.4.3.2 Etude du comportement de la variance de la fluctuation
4.4.3.3 Exposant de rugosité
4.5 Résultats expérimentaux
4.5.1 Traitement de l’image et du front extrait
4.5.1.1 Extraction du front
4.5.1.2 Détermination de la fonction d’autocorrélation et de la variance
4.5.1.3 Détermination du spectre de la fonction d’autocorrélation
4.6 Conclusion
5 Calcul du noyau fondamental
5.1 Introduction
5.2 Eléments de base de deux fissures coplanaires
5.2.1 Cas du problème 2D
5.2.1.1 FIC pour deux fissures symétriques
6 TABLE DES MATIÈRES
5.2.1.2 FIC pour deux fissures de longueurs différentes
5.2.1.3 Etude des variations des FIC
5.2.2 Cas du problème 3D
5.2.3 Quelques propriétés des fonctions fα et gαβ
5.2.4 Calculs des constantes Cα et des intégrales Z +∞
−∞ gαβ (η) dη
5.3 fissures coplanaires en forme de fentes infinies
5.3.1 Equations intégro-différentielles sur les composantes fα et gαβ du noyau
fondamental
5.3.1.1 Mouvements de translation des fronts
5.3.1.2 Mouvements de rotation des fronts
5.3.2 Equations différentielles sur les transformées de Fourier des fonctions fα et gαβ
5.3.2.1 Comportements asymptotiques des fonctions Fcα(p) et gdαβ(p)
5.3.3 Résolution numérique des équations différentielles
5.3.3.1 Principe de la méthode
5.3.3.2 Résultats numériques
5.4 Conclusion
A Quelques démonstrations du chapitre 2
A.1 Démonstration de certaines propriétés de la résolvante
A.2 Comportement asymptotique Γ( b k,a) pour a → +∞ k 6= 0 fixé
A.3 Comportement asymptotique de Γ(z,a) pour a → +∞
B Appendice du chapitre 3
B.1 Inequalities on the equivalent Poisson ratio .
B.2 Appendix : inequality on the constants A and B
B.3 Appendix : statistical description of an ensemble of cracked media
B.4 Appendix : qualitative analysis of the evolution in time of a sinusoidal perturbation
of the crack front of short wavelength
B.5 Appendix : calculation of the mean value of the function Fθ(λ)
C Annexe du chapitre 5
C.1 comportement à l’infini des fonctions Fcα(p) et gdαβ(p)
Bibliographie