Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur
relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy

Généralités 

Dans ce chapitre, on va donner quelques notions et résultats préliminaires sur la transformée de Fourier, les espaces de Sobolev fractionnaaires, définir le Laplacien fractionnaire via différentes approches et donner quelques propriétés de cet opérateur non local avant de terminer ce chapitre par des généralités et notations nécessaires pour la suite du mémoire. Pour ce chapitre, les principales références sont [9], [24], [23], [3], [11], [5] et [8].

 Préliminaires

 Dans cette section on va présenter des notions et résultats mathématiques qu’on va surtout utiliser dans le dernier chapitre. On commencera par les fonctions de troncature qui vont jouer un rôle important dans la démonstration du résultats principaux de ce mémoire :

 Théorème

Soient 𝒟(R 𝑁 ) l’espace des fonctions-tests de R 𝑁 et 𝜙 ∈ 𝒟(R 𝑁 ) vérifiant les conditions suivantes : (i) 0 ≤ 𝜙(𝑥) ≤ 1 pour tout 𝑥 ∈ R 𝑁 , (ii) 𝜙(𝑥) = 1 sur la boule centrée en 0 et de rayon 1 notée 𝐵1 (iii) et 𝜙(𝑥) = 0 à l’extérieur de 𝐵2, boule centrée en 0 et de rayon 2. Dans la suite, on définit 𝜂𝑟(𝑥) := 𝜙 (︃ |𝑥| 𝑟 )︃ . Il est facile de vérifier les estimations suivantes : |∇𝜂𝑟| ≤ 𝐶 𝑟 Préliminaires 15 et |Δ𝜂𝑟| ≤ 𝐶 𝑟 2 , où 𝐶 est une constante positive indépendant de 𝑟. Finalement on termine cette section en utilisant les fonctions de troncature pour montrer un résultat classique : 

Théorème

 Pour 1 ≤ 𝑝 < ∞ et un ouvert Ω ⊆ R 𝑁 , 𝐶 ∞ 𝑐 (Ω) est dense dans 𝐿 𝑝 (Ω). Preuve. Soit Ω ⊆ R 𝑁 . Toute fonction 𝑓 ∈ 𝐿 𝑝 (Ω) peut être prise comme un élément de 𝐿 𝑝 (R 𝑁 ) par l’extension suivante : ˜𝑓(𝑥) = {︃ 𝑓(𝑥) si 𝑥 ∈ Ω, 0 si 𝑥 ∈ R 𝑁 ∖ {Ω}. Pour Ω = R 𝑁 , soit 𝐾𝑗 = 𝐵(0, 𝑟𝑗 )et ainsi on note Ω = ⋃︀ 𝑗 𝐾𝑗 . Maintenant on va considérer la suite de troncature {𝜂𝑟𝑗 } dans 𝐶 ∞ 𝑐 (Ω) telle que 𝜂𝑟𝑗 ≡ 1 sur 𝐾𝑗 et 0 ≤ 𝜂𝑟𝑗 ≤ 1, pour tout 𝑗. On étend 𝜂𝑟𝑗 par 0 sur R 𝑁 ∖ {Ω} et on définit 𝐹𝑗 := 𝜂𝑟𝑗 𝑓𝑗 , qui est dans 𝐶 ∞ 𝑐 (Ω). Aussi, 𝐹𝑗 = 𝑓𝑗 dans 𝐾𝑗 et |𝐹𝑗 | ≤ |𝑓𝑗 | sur R 𝑁 . Donc, ‖𝐹𝑗 − 𝑓‖𝑝,Ω = ⃦ ⃦ ⃦𝐹𝑗 − ˜𝑓 ⃦ ⃦ ⃦ 𝑝,R𝑁 ≤ ⃦ ⃦ ⃦𝜂𝑟𝑗 𝑓𝑗 − 𝜂𝑟𝑗 ˜𝑓 ⃦ ⃦ ⃦ 𝑝,R𝑁 + ⃦ ⃦ ⃦𝜂𝑟𝑗 ˜𝑓 − ˜𝑓 ⃦ ⃦ ⃦ 𝑝,R𝑁 ≤ ⃦ ⃦ ⃦𝑓𝑗 − ˜𝑓 ⃦ ⃦ ⃦ 𝑝,R𝑁 + ⃦ ⃦ ⃦𝜂𝑟𝑗 ˜𝑓 − ˜𝑓 ⃦ ⃦ ⃦ 𝑝,R𝑁 . Comme 𝐶 ∞(R 𝑁 ) est dense dans 𝐿 𝑝 (R 𝑁 ), le premier terme à droite converge vers zéros et par le théorème de convergence dominée le second terme aussi converge vers zéros.

 La transformée de Kelvin 

Soient 𝑠 ∈]0, 1[ et une fonction 𝑢 : R ↦→ R 𝑁 ∪ {−∞, +∞} . On considére l’application 𝑥 ↦→ 𝑥 * = 𝑥/|𝑥| 2 , 𝑥 ∈ R 𝑁 ∖ {0}. La transformée de Kelvin de 𝑢, notée 𝐾(𝑢), est définie comme étant cette application définie sur R 𝑁 : 𝐾(𝑢)(𝑥) = |𝑥| 2𝑠−𝑁 𝑢(𝑥 * ) = |𝑥| 2𝑠−𝑁 𝑢 (︃ 𝑥 |𝑥| 2 )︃ , 𝑥 ∈ R 𝑁 ∖ {0}, où 𝑥 * est l’inverse du point 𝑥 ∈ R 𝑁 par rapport à la sphère unité 𝑆1(0). Ainsi on peut voir que l’intérieur de la sphère est la transformée de Kelvin de l’extérieur et vice-versa. Notons que si 𝑢 satisfait Δ𝑢 + 𝜆|𝑥| −2𝑢 = 0 dans 𝐵𝑟0 alors la fonction 𝑣 = 𝐾(𝑢) satisfait Δ𝑣 + 𝜆|𝑥| −2 𝑣 = 0 dans R 𝑁 ∖ 𝐵𝑟0 . 

 La transformée de Fourier 

On donne d’abord la définition des espaces de Schwartz où la transformée de Fourier est un isomorphisme sur eux-mêmes (voir [22, Chapitre 7]).

 Définition 

(Espaces de Schwartz). Les espaces de Schwartz, notés 𝒮, sont les espaces des fonctions infiniment différentiables (𝐶 ∞) à décroissance rapide. Sa topologie est donnée par la semi-norme suivante : 𝑝𝑁 (𝜙) = sup 𝑥∈R𝑁 (1 + |𝑥|) 𝑁 ∑︁ |𝛼|≤𝑁 |𝐷 𝛼𝜙(𝑥)|, 𝑁 = 0, 1, 2, · · · , où 𝜙 ∈ 𝒮(R 𝑁 ). Donc 𝒮(R 𝑁 ) = {𝜙 ∈ 𝐶 ∞(R 𝑁 ) tel que 𝑝𝑁 (𝜙) < ∞}, autrement dit 𝒮 est l’ensemble des fonctions infiniment différentiables telles que 𝜙 et toutes ses dérivées décroissent plus rapidement que toute puissance 1 |𝑥| quand |𝑥| → ∞. Ainsi par dualité, on peut définir la transformée de Fourier pour les éléments de 𝒮 ′ , l’espace dual de 𝒮. Il est aussi l’espace de distributions tempérées. Une autre propriété importante est, pour 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞, 𝒮(R 𝑁 ) ⊂ 𝐿 𝑝 (R 𝑁 ) où 𝐿 𝑝 (R 𝑁 ) = {𝑓mesurable/ ‖𝑓‖𝑝 < ∞} et on définit, pour 𝑝 ∈ [1,∞[, ‖𝑓‖𝑝 := (︂∫︁ R𝑁 |𝑓| 𝑝 𝑑𝑥)︂1/𝑝 et pour 𝑝 = ∞, ‖𝑓‖∞ := inf{𝐾 : |𝑓(𝑥)| ≤ 𝐾 pour presque tout 𝑥 ∈ R 𝑁 }. On remarque aussi que l’espace des fonctions-tests dans 𝐶 ∞ 𝑐 (R 𝑁 ) est un sousespace de 𝒮(R 𝑁 ). Comme pour un ouvert Ω de R 𝑁 , 𝐶 ∞ 𝑐 (Ω) est dense dans 𝐿 𝑝 (Ω) (voir [3, Corollaire 4.23], donc 𝒮(R 𝑁 ) est dense dans 𝐿 𝑝 (R 𝑁 ). Voir [16], [26] et [28] pour plus de détails. Définition 2.1.3 (Convolution). Soient 𝑓, 𝑔 : R 𝑁 → R des fonctions mesurables. On appelle la convolution de 𝑓 et 𝑔 notée 𝑓 * 𝑔 par 𝑓 * 𝑔(𝑥) = ∫︁ R𝑁 𝑓(𝑥 − 𝑦)𝑔(𝑦)𝑑𝑦, 𝑥 ∈ R 𝑁 telle que 𝑦 ↦→ 𝑓(𝑥 − 𝑦)𝑔(𝑦) est intégrable pour n’importe quel 𝑥 ∈ R 𝑁 . Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○c UCAD / 2017 Préliminaires 17 Le produit de convolution a d’importantes propriétés combinées avec la transformée de Fourier. 

Définition 

 (Mollifier). On appelle (𝜌𝑛)𝑛≥1 une suite de mollifiers si elle est une suite de fonctions sur R 𝑁 telle que 𝜌𝑛 ∈ 𝐶 ∞ 𝑐 (R 𝑁 ), supp 𝜌𝑛 ⊂ 𝐵(0, 1/𝑛), ∫︁ R𝑁 𝜌𝑛(𝑦)𝑑𝑦 = 1 et 𝜌𝑛 ≥ 0, dans R 𝑁 . 

Théorème 

 Soit 𝑓 ∈ 𝐿 𝑝 (R 𝑁 ) avec 1 ≤ 𝑝 < +∞. Donc 𝜌𝑛 * 𝑓 → 𝑓 quand 𝑛 → +∞ dans 𝐿 𝑝 (R 𝑁 ). Pour plus de détails, voir [3]. On a Définition 2.1.5 (Transformée de Fourier). Soit 𝜙 ∈ 𝒮, la transformée de Fourier de 𝜙 est définie comme suit : ℱ𝜙(𝜉) = 1 (2𝜋) 𝑛 2 ∫︁ R𝑁 𝑒 −𝑖𝜉·𝑥𝜙(𝑥)𝑑𝑥, 𝜉 ∈ R 𝑁 , on peut étendre ℱ de 𝒮(R 𝑁 ) vers 𝒮 ′ (R 𝑁 ). Ainsi on définit la transformée de Fourier inverse de 𝜙 : ℱ −1𝜙(𝑥) = 1 (2𝜋) 𝑛 2 ∫︁ R𝑁 𝑒 𝑖𝜉·𝑥ℱ𝜙(𝜉)𝑑𝜉. Par une simple transformation, on a aussi cette définition, ℱ𝜙(𝜉) = ∫︁ R𝑁 𝑒 −2𝑖𝜋𝜉·𝑥𝜙(𝑥)𝑑𝑥, 𝜉 ∈ R 𝑁 . On note aussi la transformée de Fourier de 𝜙 par 𝜙̂︀ et son inverse par 𝜙˜.

 Remarque

1 Soit 𝜙 ∈ 𝐿 1 (R 𝑁 ) donc sa transformée de Fourier 𝜙̂︀ est bornée et uniformément continue. Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○c UCAD / 2017 Préliminaires 18 En effet pour tout 𝜉 ∈ R 𝑁 , |𝜙̂︀(𝜉)| ≤ ∫︁ R𝑁 |𝑒 −2𝑖𝜋𝜉·𝑥𝜙(𝑥)|𝑑𝑥 ≤ ∫︁ R𝑁 |𝜙(𝑥)|𝑑𝑥 ≤ ‖𝜙‖1 . Ce qui montre que 𝜙̂︀ est borné. Pour tout 𝜉, 𝜉′ ∈ R 𝑁 , on a aussi |𝜙̂︀(𝜉) − 𝜙̂︀(𝜉 ′ )| = ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∫︁ R𝑁 (𝑒 −2𝑖𝜋𝜉·𝑥 − 𝑒 −2𝑖𝜋𝜉′ ·𝑥 )𝜙(𝑥)𝑑𝑥 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ≤ ∫︁ R𝑁 |𝑒 −2𝑖𝜋𝜉′ ·𝑥 (𝑒 −2𝑖𝜋(𝜉−𝜉 ′ )·𝑥 − 1)||𝜙(𝑥)|𝑑𝑥 ≤ ∫︁ R𝑁 |𝑒 −2𝑖𝜋(𝜉−𝜉 ′ )·𝑥 − 1||𝜙(𝑥)|𝑑𝑥. Quand |𝜉 − 𝜉 ′ | → 0 alors |𝑒 −2𝑖𝜋(𝜉−𝜉 ′ )·𝑥 − 1||𝜙(𝑥)| tend simplement vers 0 et |𝑒 −2𝑖𝜋(𝜉−𝜉 ′ )·𝑥 − 1||𝜙(𝑥)| est dominé par 2|𝜙(𝑥)| pour tout 𝑥 ∈ R 𝑁 donc par le théorème de convergence dominée |𝜙̂︀(𝜉) − 𝜙̂︀(𝜉 ′ )| → 0. D’où 𝜙̂︀ est uniformément continu. Théorème 2.1.3 (Plancherel). Soit 𝜙 ∈ 𝐿 1 (R 𝑁 ) ∩ 𝐿 2 (R 𝑁 ), on a ‖𝜙‖𝐿2(R𝑁 ) = ‖𝜙̂︀‖𝐿2(R𝑁 ) = ‖𝜙˜‖𝐿2(R𝑁 ) . (2.1) L’application 𝜙 → 𝜙̂︀ a une unique extension qui est continue et linéaire de 𝐿 2 (R 𝑁 ) vers 𝐿 2 (R 𝑁 ) qui est une isométrie, i.e., la formule de Plancherel (2.1) reste vraie pour cette extension. Si 𝜙 et 𝑓 sont dans 𝐿 2 (R 𝑁 ) alors on a la formule de Parseval : (𝜙, 𝑓) = (𝜙, ̂︀ ̂︀𝑓). (2.2) Preuve. On a ‖𝜙‖ 2 𝐿2(R𝑁 ) = ∫︁ R𝑁 𝜙(𝑥)𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜙 * 𝜙(0) = ℱ −1 (ℱ(𝜙 * 𝜙))(0) = ∫︁ R𝑁 ℱ(𝜙 * 𝜙)(𝜉)𝑑𝜉 = ∫︁ R𝑁 𝜙̂︀(𝜉)𝜙̂︀(𝜉)𝑑𝜉 = ‖𝜙̂︀‖ 2 𝐿2(R𝑁 ) . La preuve pour 𝜙˜ est similaire. Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○c UCAD / 2017 Préliminaires 19 La relation (2.2) se déduit de la polarisation, i.e., l’égalité (𝜙, 𝑓) = 1 2 (︁ ‖𝜙 + 𝑓‖ 2 2 − 𝑖 ‖𝜙 + 𝑖𝑓‖ 2 2 − (1 − 𝑖) ‖𝑓‖ 2 2 )︁ . En appliquant (2.1) à chacune de ces trois normes qui composent la polarisation, on obtient (2.2). Proposition 2.1.1 Soit 𝜙 ∈ 𝐶 ∞ 𝑐 (R 𝑁 ), donc on a 1) 𝐷[𝛼𝜙(𝜉) = (𝑖𝜉) 𝛼𝜙, ̂︀ (2.3) 2) Soient 𝑓 et 𝑔 dans 𝐿 1 (R 𝑁 ). Alors on a 𝑓 * 𝑔 dans 𝐿 1 (R 𝑁 ) et 𝑓[* 𝑔(𝜉) = ̂︀𝑓(𝜉)𝑔̂︀(𝜉). (2.4) Preuve. Comme 𝜙 ∈ 𝐶 ∞ 𝑐 (R 𝑁 ). 1) 𝐷[𝛼𝜙(𝜉) = 1 (2𝜋) 𝑛 2 ∫︁ R𝑁 𝑒 −𝑖𝜉·𝑥𝐷 𝛼𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = (−1)|𝛼| (2𝜋) 𝑛 2 ∫︁ R𝑁 𝐷 𝛼 𝑥 (𝑒 −𝑖𝜉·𝑥 )𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑖𝜉) 𝛼 (2𝜋) 𝑛 2 ∫︁ R𝑁 𝑒 −𝑖𝜉·𝑥𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑖𝜉) 𝛼𝜙̂︀(𝜉). 2) En utilisant le théorème de Fubini (voir [3, Théorème 4.5]), on a ∫︁ R𝑁 |𝑓 * 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 ≤ ∫︁ R𝑁 ∫︁ R𝑁 |𝑓(𝑥 − 𝑦)𝑔(𝑦)|𝑑𝑦𝑑𝑥 ≤ ∫︁ R𝑁 ∫︁ R𝑁 |𝑓(𝑥 − 𝑦)𝑔(𝑦)|𝑑𝑥𝑑𝑦 ≤ ‖𝑓‖1 ∫︁ R𝑁 |𝑔(𝑦)|𝑑𝑦 ≤ ‖𝑓‖1 ‖𝑔‖1 . Donc 𝑓 * 𝑔 ∈ 𝐿 1 (R 𝑁 ). Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○c UCAD / 2017 Préliminaires 20 Encore par le théorème de Fubini, on a 𝑓[* 𝑔(𝜉) = ∫︁ R𝑁 𝑒 −2𝑖𝜋𝜉·𝑥 ∫︁ R𝑁 𝑓(𝑥 − 𝑦)𝑔(𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫︁ R𝑁 ∫︁ R𝑁 𝑒 −2𝑖𝜋𝜉·(𝑥−𝑦) 𝑒 −2𝑖𝜋𝜉·𝑦 𝑓(𝑥 − 𝑦)𝑔(𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫︁ R𝑁 (︂∫︁ R𝑁 𝑒 −2𝑖𝜋𝜉·(𝑥−𝑦) 𝑓(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥)︂ 𝑒 −2𝑖𝜋𝜉·𝑦 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = ̂︀𝑓(𝜉) ∫︁ R𝑁 𝑒 −2𝑖𝜋𝜉·𝑦 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = ̂︀𝑓(𝜉)𝑔̂︀(𝜉).

 Théorème 

 (Transformée de Fourier d’un Gaussien). Pour 𝜆 > 0, on note par 𝑔𝜆 la fonction gaussienne sur R 𝑁 donnée par 𝑔𝜆(𝑥) = 𝑒 −𝜋𝜆|𝑥| 2 pour tout 𝑥 ∈ R 𝑁 . (2.5) Alors 𝑔̂︀𝜆(𝜉) = 𝜆 −𝑛/2 𝑒 −𝜋|𝜉| 2/𝜆 . (2.6) Preuve. On a 𝑔̂︀𝜆(𝜉) = ∫︁ R𝑁 𝑒 −2𝑖𝜋𝜉·𝑥 𝑔𝜆(𝑥)𝑑𝑥 = ∫︁ R𝑁 𝑒 − ∑︀𝑁 𝑗=1(2𝑖𝜋𝜉𝑗𝑥𝑗+𝜆𝜋𝑥2 𝑗 ) 𝑑𝑥 = ∫︁ R𝑁 𝑒 − ∑︀𝑁 𝑗=1 𝜆𝜋(2 𝑖 𝜆 𝜉𝑗𝑥𝑗+𝑥 2 𝑗 ) 𝑑𝑥 = ∫︁ R𝑁 𝑒 − ∑︀𝑁 𝑗=1 𝜆𝜋[︂ (𝑥𝑗+ 𝑖 𝜆 𝜉𝑗 ) 2 + 𝑥𝑖2 𝑗 𝜆2 ]︂ 𝑑𝑥 = 𝑒 − 𝜋 𝜆 |𝜉| 2 ∫︁ R𝑁 𝑒 −𝜆𝜋|𝑥+ 𝑖 𝜆 𝜉| 2 𝑑𝑥. En posant 𝑓(𝜉) = ∫︁ R𝑁 𝑒 −𝜆𝜋|𝑥+ 𝑖 𝜆 𝜉| 2 𝑑𝑥, alors on a ∇𝜉𝑓(𝜉) = ∫︁ R𝑁 ∇𝜉𝑒 −𝜆𝜋|𝑥+ 𝑖 𝜆 𝜉| 2 𝑑𝑥 = −2𝑖𝜋 ∫︁ R𝑁 (︂ 𝑥 + 𝑖 𝜆 𝜉 )︂ 𝑒 −𝜆𝜋|𝑥+ 𝑖 𝜆 𝜉| 2 𝑑𝑥 = 𝑖 1 𝜆 ∫︁ R𝑁 ∇𝑥𝑒 −𝜆𝜋|𝑥+ 𝑖 𝜆 𝜉| 2 𝑑𝑥 = 𝑖 𝜆 [︂ 𝑒 −𝜆𝜋|𝑥+ 𝑖 𝜆 𝜉| 2 ]︂ R𝑁 = 0. Etude de l’essentiel auto-adjoint de l’opérateur relativiste de Schrödinger avec potentiel de Hardy Adama NDOYE ○c UCAD / 2017 Les espaces de Sobolev fractionnaires 21 Donc 𝑓 est une constante. Alors pour tout 𝜉 ∈ R 𝑁 , 𝑓(𝜉) = 𝑓(0) = ∫︁ R𝑁 𝑒 −𝜆𝜋|𝑥| 2 𝑑𝑥. Ainsi on obtient 𝑔̂︀𝜆(𝜉) = 𝜆 −𝑛/2 𝑒 −𝜋|𝜉| 2/𝜆 . Pour les définitions de certains espaces fonctionnels, intégrale de Lebesgue etc., voir [1, pages 9 – 18]. 

Définition 

 (régularité d’un ensemble). Soit 𝑘 ∈ N et 𝛼 ∈]0, 1]. Ω ⊂ R 𝑁 est de classe de 𝐶 𝑘,𝛼 s’il existe 𝑀 > 0 tel que pour tout 𝑥 ∈ ∂Ω, il existe une balle 𝐵 = 𝐵𝑟(𝑥), 𝑟 > 0 et un isomorphisme 𝜙 : 𝑄 −→ 𝐵 tel que : 𝜙 ∈ 𝐶 𝑘,𝛼(𝑄), 𝜙−1 ∈ 𝐶 𝑘,𝛼(𝐵), 𝜙(𝑄+) = 𝐵 ∩ Ω, 𝜙(𝑄0) = 𝐵 ∩ ∂Ω et ‖𝜙‖𝐶𝑘,𝛼(𝑄) + ⃦ ⃦ ⃦𝜙 −1 ⃦ ⃦ ⃦ 𝐶𝑘,𝛼(𝐵) ≤ 𝑀 où 𝑄 est un cylindre 𝑄 := {𝑥 = (𝑥 ′ , 𝑥𝑁 ) ∈ R 𝑁−1 × R : ‖𝑥 ′ ‖ < 1 et |𝑥𝑁 | < 1}, 𝑄+ := {𝑥 = (𝑥 ′ , 𝑥𝑁 ) ∈ R 𝑁−1 × R : ‖𝑥 ′ ‖ < 1 et 0 < |𝑥𝑁 | < 1} et 𝑄0 := {𝑥 ∈ 𝑄 : 𝑥𝑁 = 1}. Voir [5, Section 1]