PRESENTATION DU SYSTEME LABORDE 

HISTORIQUE 

Dès 1896, la cartographie de la Grande Ile a été l’une des priorités des colonisateurs. Ces cartes ont été destinées aux militaires et aux missionnaires. Le service géographique de Madagascar adoptait la projection équivalente de Bonne. Mais ce choix convenait mal pour Madagascar. Il présentait une altération linéaire trop élevée. En 1925, la topographie commence à se répandre et s’éloigne de l’axe de la projection. Le Commandant Laborde a mis en service 4 projections locales provisoires, en attendant la mise au point d’une projection unique et définitive qui offre beaucoup d’avantage pour Madagascar. Madagascar était l’un des Etats Africains qui bénéficiait d’une bonne infrastructure géodésique permettant de faire la cartographie du pays et autres utilisations géodésiques. Au début, la géodésie à Madagascar était à la charge du Service Géographique de Madagascar ou SGM. Le réseau s’appelait Système Géographique Laborde ou SGL. C’était donc en 1926 que la réfection des points et le complètement des blancs dans certaines régions ont débuté. Ce réseau était constitué de 7313 points géodésiques répartis dans tout le Madagascar, 996 points du premier ordre, 1267 du second ordre et 3510 du troisième ordre. La dernière mission géodésique à Madagascar a pris sa fin en 1965. Cette mission consistait à la réfection d’une partie de la triangulation avec des théodolites T3 afin de doter à la Grande Ile d’un réseau géodésique d’une bonne valeur : quarante années d’observation des triangulations (1924 à 1961), quatre ans (1961 à 1964) d’observation des azimuts de Laplace, et observations de base pour la mise à l’échelle et calcul d’ensemble. Du coup, des compensations de ces jeux de coordonnées ont été faites. La Grande Ile était divisée en trois parties lors de cette compensation : partie nord, centre et la partie sud. Chaque bloc comprenait le nombre de points suivant :

– 97 points dans la zone Nord
– 278 points dans la zone Centre
– 225 points dans la zone Sud .

La précision est de l’ordre de 40 cm, estimée à partir des résidus des compensations aux moindres carrées.

Mais le système RGM 1965 a seulement rendu homogène les coordonnées SGL et il ne concerne que les points du premier ordre, les points de détail restent toujours dans le système SGL. La plupart des points de 2ème ordre ont été calculé par blocs de 10 à 20 points à la main par moindres carrées. Le canevas est assez mal reparti, en effet, il existe des zones à forte densité comprenant 30 à 40 points par feuille au 100 000e alors que d’autres n’ont que 1 à 2 points par feuille. Cette densité dépend surtout de l’accessibilité (forêt, marécage) et du niveau de développement de la zone. En 1997, une mission GPS a permis la détermination de 9 points géodésiques d’ordre zéro à Madagascar. Ces points sont connus dans les deux systèmes WGS84 et Laborde, avec une précision de 7 cm par rapport à l’ITRF94, ramenés à la date d’observation mars 1997, et rattachés au Nivellement Général de Madagascar ou NGM. Ces neufs points sont bien repartis sur tout Madagascar.

Nota bene 01:
Dans des documents écrits par Laborde, l’axe des X est dirigé vers le nord et l’axe des Y est vers l’Ouest. Pour faciliter l’utilisation des formules, le F.T.M a dû changer ces axes qui deviennent actuellement :
Xv = Y
Yv = X
Ce ne sont donc que les appellations qui ont changé. Dans ce document, nous adopterons les nouvelles dénominations : Xv vers l’Est et Yv vers le Nord.

CARACTERISTIQUES DE LA PROJECTION LABORDE 

La projection Laborde mise en service depuis 1926 pour Madagascar est une représentation conforme de l’Ellipsoïde International Hayford sur la sphère de courbure moyenne, suivie d’une projection parabolique oblique de cette sphère conforme sur le plan. Elle est rigoureusement identique à une double-projection de Mercator de même origine et inclinaison. C’est une projection spécifique pour Madagascar.

Nota bene 02 :
La longitude λ = 49 gr est donnée par rapport au méridien de Paris. Pour passer par rapport à Greenwich, il faut ajouter la différence de longitude des deux méridiens qui vaut 2°20’14.025’’ ou 2.5969213 grade.

Nota bene 03:
Dans les cartes aux 1 : 100 000 et 1 : 50 000 éditées par FTM, les coordonnées géographiques en grade sur les bordures sont par rapport au méridien de Paris, tandis que celles qui sont exprimées en degrés sont par rapport au méridien de Greenwich.

Point fondamental
Le point fondamental du système de projection Laborde Madagascar est matérialisé par le pilier de l’astrolabe auprès de l’observatoire d’Antananarivo. Les coordonnées de ce point sont les suivantes :
Coordonnées géographiques :
L = – 21° 018228828
M = 50° 238295075
Coordonnées cartésiennes :
Xv = 517 353.56 m
Yv = 797 717.34 m

Récapitulation d’une manière pratique en utilisant la table Laborde 

Nous venons de présenter la programmation sur ordinateur de la conversion, mais cela n’était possible qu’à partir des outils informatiques. Avant, on utilisait des tables logarithmiques ou des machines à calculer classiques pour effectuer les opérations. Pour plus d’informations, nous présentons le calcul à partir de la table Laborde.

Le commandant Laborde a dressé une table qui donne directement les coefficients de conversion. Il utilisait un imprimé spécial pour transformer les coordonnées géographiques en coordonnées cartésiennes. L’organigramme suivant montre le processus de calcul : en partant des coordonnées géographiques suivi d’une lecture de la table Laborde, puis une interpolation sur la longitude « M », puis une deuxième interpolation sur la latitude « L » afin d’avoir les coordonnées cartésiennes.

Nota bene 04
La projection Laborde est une projection très proche de la projection Mercator oblique. La différence maximale entre les deux projections est de 1.30 m aux deux extrêmes Nord et Sud. Du coup, les cartes aux 1 : 100 000 et 1 : 50 000 éditées par le FTM sont projetées dans la projection Mercator Oblique, puisque la différence est inférieure à l’erreur graphique. Mais la projection utilisée est toujours la projection Laborde Madagascar. Puisque la projection Laborde est une projection conforme, elle ne conserve que les angles. Nécessairement, il existe toujours une altération linéaire. De plus, plusieurs formules inhérentes à la projection sont à appliquer pour une utilisation correcte. Nous développons dans le paragraphe qui suit : quelles sont ces formules ? Pourquoi doit-on les appliquer ? Comment on les applique et quand ?

LES DIFFERENTES CORRECTIONS INHERENTES A LA PROJECTION LABORDE

Les quelques histoires vécues qui suivent, permettent d’illustrer cette correction.

➤ Le FTM a réalisé une orthophoto au 1 : 1 000 rattachée à la projection Laborde, du côté de Morondava à partir des photos aériennes au 1 : 5 000. L’ingénieur qui, a réceptionné le travail, a procédé à un contrôle. Avec un distance-mètre neuf, bien étalonné, il a identifié deux points bien précis sur le terrain sur une distance de 3km. Il a trouvé une différence de 1.50m entre la distance calculée sur l’orthophoto et la distance mesurée. Au 1 : 1 000, c’est inadmissible. Une réclamation a été émise auprès du FTM. Le FTM lui a posé une première question : Est ce que la correction à l’horizontale a été faite ? L’ingénieur répond avec un petit sourire ! Mais pour qui me prenez-vous ? Le FTM lui a posé une deuxième question : la correction de projection a-t-elle été appliquée ? L’ingénieur commençait à se poser des questions. Il repensa à ses études antérieures en grattant la tête. Une troisième question posé par le FTM a mis un terme à la discussion : est ce que la correction au niveau zéro a été prise en considération ? L’ingénieur se replie et il demanda : pourriez vous m’expliquer la démarche ?

➤ Une grande société topographique d’Antananarivo faisait une polygonation le long de la côte Est : de Soanierana Ivongo vers Mananara Avaratra. La société a débuté le cheminement à partir d’une borne géodésique à Soanierana Ivongo. Donc, le cheminement est rattaché à la projection Laborde. Arrivé à Mananara Avaratra, à 100km, les coordonnées d’arrivée se trouvaient dans la mer. Le responsable a dû refaire trois fois le cheminement et les résultats ne changeaient pas. Il a consulté le FTM et a demandé la raison de cette énorme fermeture ? Le FTM lui posa les mêmes questions que précédemment. Il a fallu quelques jours pour lui montrer la solution. En effet, si la correction de réduction d’échelle est de l’ordre de 1.0005 à cet endroit, alors à 1 km, on aurait une correction de +0.5 m A 100 km, la correction serait de 50 m.

➤ Inversement pour l’implantation, le tracé d’un projet routier est basé sur un levé rattaché à la projection Laborde (points d’appui, …) fermé sur des bornes géodésiques. Pour les implantations sur le terrain, il faudra ramener les distances à implanter aux distances au niveau du chantier. C’est la correction inverse.

Pendant des années, plusieurs projeteurs, contrôleurs, géomètres sont venus nous voir pour le même problème. Plusieurs questions se posaient : quelles sont ces corrections à appliquer sur les mesures sur terrain ?

Il est évident que chaque correction à introduire, selon la nature des opérations ou des travaux que ce soit géodésiques ou topographiques, dépend toujours de la précision recherchée.