Etude de la diffusion de la chaleur

Introduction

Après avoir décrit les différentes méthodes de caractérisation des coefficients d’échange, nous développons dans ce chapitre l’influence de ce même coefficient sur la diffusion de la chaleur à travers la dalle. Cette étude est basée sur la solution de l’équation du champ température en régime transitoire dont on connaît à priori α et λ.

Equation de la chaleur

Loi de Fourrier

Expérimentalement, si les variations de température ne sont pas trop importantes, on se rend compte localement des phénomènes de conduction de la chaleur par la loi de Fourier, à savoir le vecteur densité de flux g J → , pour un milieu isotrope, qui est donné par l’expression suivante:

Remarques 

– le signe (-) traduit le fait que les échanges tendent à uniformiser la température (autrement dit que spontanément les transferts thermiques se produisent du corps chaud vers le corps froid).
– La loi de Fourier est une loi phénoménologique ; les théories sur l’interprétation microscopique du processus de conduction dépendent de la nature du milieu gaz, liquide, solide amorphe, solide cristallin ou métal ; ces théories sont loin d’être achevées.
– Et également, il convient de remarquer l’analogie qui peut être faite entre la loi de Fourier et la loi d’Ohm introduite en électrocinétique des courants continus EJ gradV → −== σσ (dans le cas de la diffusion de matière la même analogie peut être faite avec la loi de Fick.

Equation de la conduction de la chaleur

L’équation de la chaleur est déduite à partir du premier principe de la thermodynamique qui stipule que entre deux instants successifs t et t+dt , le système peut être écrit sous la forme : dE +dU = dQ +dW (II-3) où dE doit être compris comme la transformation au sein du milieu d’énergie potentielle, «chimique » en énergie calorifique ; il s’agit de l’effet Joule ou de l’énergie calorifique résultat d’une réaction exothermique (nous appelons sources de chaleur internes, ce type d’énergie) ; dU est la variation d’énergie interne ; dQ représente les échanges de chaleur aux frontières du système ; situé au sein du système siège d’un phénomène de conduction de la chaleur, ces échanges sont du type conductif ; dW représente les échanges de travail aux frontières du système.

Equation bilan

Elle s’obtient en écrivant le bilan d’énergie dans un volume (V) caractérisé par sa conductivité (λ), sa masse volumique (ρ) et sa chaleur spécifique(C).Egalement nous considérons que : -la variation de température dans le volume (V) est due à la présence de sources internes et à la chaleur entrant dans le volume.

Résolution de l’équation de la chaleur

A partir de l’équation différentielle obtenue ci-dessus et en considérant que la conductivité λ est constante, nous allons étudier l’influence du coefficient d’échange sur la diffusion du flux de chaleur dans la dalle.

Etude de la dalle en béton récupératrice 

Le principe consiste à étudier la propagation de la chaleur dans la dalle en essayant d’analyser l’évolution du champ de température et le comportement du flux .La dalle à étudier est schématisée cidessous. La dalle est éclairée sur l’une des faces par le soleil. Et puis que le flux lumineux est fonction du temps alors l’énergie fournie à la dalle dépend aussi du temps.
Cette dalle est composée de gravier, de ciment et de sable .Un tube en cuivre placé à l’intérieur conduit de l’eau à une vitesse comprise entre 0 et 2m/s qui permet de récupérer la chaleur émise par le soleil. Ainsi nous allons essayer d’utiliser l’équation de la chaleur pour voir l’évolution de la température et du flux en fonction de l’espace et du temps.

Etude de la partie inférieure de la dalle (x = 0 à x = L2)

L’étude de cette partie va être faite en résolvant l’équation de la chaleur afin d’évaluer le comportement de la dalle vis-à-vis de la diffusion de la chaleur. Ainsi une figure représentative uniquement cette partie est faite ci-dessous.

Résultats et discussions

En se basant sur l’expression de la température réduite obtenue à partir de la résolution de l’équation du champ de température, nous représentons ci-dessus les profils de cette température en fonction des variables d’espace et de temps réduites.

Régime statique

Ainsi sur les figures 9-a et 9-b, nous représentons la température réduite en fonction de la variable d’espace réduite pour des valeurs différentes du coefficient d’échange à l’entée avec deux valeurs différentes du coefficient d’échange à la face arrière.
Les figures 9-a et 9-b représentent les profils de la température réduite en fonction de l’espace réduit pour trois valeurs différentes de Bi1 et pour des valeurs respectives de Bi2 égales à 0 et 1000.dans ces deux figures pour les courbes (1) Bi1=10 ; pour les courbes (2) Bi1=16 ; pour les courbes (3) Bi1=22.
Pour un coefficient faible, le gradient de la température d’échange reste faible et augmente au fur et à mesure que le coefficient d’échange augmente avec une légère progression dans l’espace réduit. Il existe un point u0 de flux maximum de chaleur où le gradient est nul ( 0 )( 0 = ∂ ∂ u u= δθ u ). Ce point se déplace en profondeur avec la variable réduite d’espace lorsque le nombre de Biot diminue (h diminue). Donc ce point se déplace en sens inverse avec l’augmentation de la vitesse de diffusion de la chaleur.
Ainsi pour une dalle de faible coefficient d’échange à la face avant, le gradient de la température réduite est proportionnelle à l’accumulation de flux au niveau de cette interface. Et le déplacement du point de fonctionnement suivant la variable d’espace réduite peut être fonction de la vitesse de pénétration du flux de chaleur. Ensuite la température réduite décroît de façon linéaire avec l’espace réduit pour atteindre des valeurs faibles au voisinage de la face arrière d’où la possibilité de mise en exergue de l’effet capacitif de la dalle.
Pour Bi2 =0, la valeur constante de la température réduite au voisinage de la face arrière entraîne une accumulation de chaleur; par contre pour Bi2 =1000, sa valeur tend vers 0 dans ce cas, on a une dissipation de chaleur.
Sur les figures 10-a et 10-b, nous représentons la température réduite en fonction de la variable d’espace réduite pour une faible valeur et une valeur élevée du coefficient d’échange à la face avant avec un coefficient d’échange à la face arrière égale à 1000.
Figures 10-a et 10-b : Profil de la température réduite en fonction de l’espace réduit pour Bi2=1000.Sur la figure 10-a Bi1=1,205 et sur la figure 10-b Bi1=1010.
Pour une faible valeur du coefficient d’échange à la face avant on a un faible accroissement pour atteindre un maximum d’où l’obtention du gradient de température contrairement pour un coefficient d’échange élevé où on a un accroissement plus accru. De même ces courbes montrent une croissance de la température pour des longueurs de diffusion inférieures à 0.2 avant d’atteindre son maximum et décroissent ensuite vers 0.Par contre pour la figure 10-a la température est sensiblement constante pour des points de fonctionnement proches de la face avant correspond aux faibles gradients du flux de chaleur.
Ensuite la tension décroît de façon linéaire avec la variable réduite d’espace pour atteindre des valeurs faibles au voisinage de la face arrière de la dalle correspondant à un gradient élevé du flux de chaleur.

Régime dynamique transitoire

Sur les figures 11-a et 11-b, nous représentons la température en fonction du temps réduit pour trois valeurs différentes du coefficient d’échange à la face d’entrée avec deux valeurs distinctes du coefficient d’échange à la face arrière.
Figures 11-a et 11-b : Profil de la température réduite en fonction de la variable réduite de temps pour Bi2=0 et Bi2=1000 avec des valeurs de Bi1 égales à 30,45et 55 sur la figure 11-a et 10,16 et 22 sur la figure11-b ; et la variable réduite d’espace prend la valeur 0,8.
Sur ces figures nous constatons une décroissance progressive de la température réduite en fonction du temps pour tendre sensiblement vers la valeur nulle. Ceci peut être du à la perte progressive de la chaleur au fur et à mesure de la propagation dans le temps.
Sur les figures 12-a et 12-b, nous représentons la température réduite en fonction du temps réduit pour des valeurs faible et élevée du coefficient d’échange à la face avant et un coefficient d’échange égal à 1000 à la face arrière.
Sur la figure 12-a Bi1=1,205 ; Bi2=1000 ; u=0,8 et sur la figure 12-b Bi1=1010 ; Bi2=1000 et u=0,8. Sur ces figures comme précédemment nous constatons une décroissance de la température réduite en fonction de la variable réduite de temps tendant vers une valeur nulle. Cette chute de chaleur progressive est due aux pertes acquises tout au long de la propagation du flux.

Conclusion 

Sur ces courbes de la température en fonction de l’espace, nous constatons une croissance jusqu’à une valeur maximale d’où l’apparition d’un gradient de température suivi d’une décroissance tendant vers 0 pour un coefficient d’échange égal à 0 à la face avant et vers une valeur constante pour une valeur non nulle de ce même coefficient. De ce fait nous disons qu’il y a un effet d’accumulation de chaleur que nous pouvons traduire par une charge suivi d’une décharge. Ce qui met en exergue l’aspect capacitif de la dalle. Par contre sur les courbes en fonction du temps, nous avons une décroissance progressive de la température au fur du temps. Cette décroissance est due aux pertes de chaleur suivant la diffusion du flux de chaleur. Et en se basant sur l’analogie Thermique – électricité, nous disons que ces pertes montrent l’aspect résistif de la dalle.