ETUDE COMPARATIVE DE LA FLEXION DE PANNEAUX SANDWICHS

Dans ce chapitre, nous nous proposons de montrer la pertinence des modèles multiparticulaires et du modèle sandwich issu de la théorie de Sab, pour le dimensionnement en flexion de panneaux sandwichs. La première partie fera l’objet d’une comparaison entre les modèles à trois particules, la théorie sandwich classique (de Reissner-Mindlin), la théorie classique modifiée de Sab, et une solution analytique tridimensionnelle exacte développée par Pagano, dans le cas classique d’une flexion cylindrique sur des panneaux sandwichs. La seconde partie consistera à vérifier la pertinence de la maille élément-fini développée à partir de la modélisation multiparticulaire des matériaux multicouches (maille M4) (Smaoui 1996). Nous confronterons les résultats de la maille M4 avec des modélisations sandwichs réalisées avec le code de calcul par éléments finis SAMCEF. Cette partie est consacrée à l’étude de panneaux sandwichs en flexion cylindrique, dont l’objectif est de comparer les solutions données par les différentes théories classiques de Reissner et de Sab et les théories multiparticulaires du chapitre I, avec la solution exacte de Pagano (1969) issue d’une analyse tridimensionnelle du problème.

Nous traiterons le cas de plaques en appuis simples aux extrémités, soumises à un chargement en flexion sinusoïdale. Nous nous intéresserons aux déflexions maximales au centre de chaque plaque sandwich, et à la répartition des contraintes de cisaillement dans l’épaisseur aux bords, pour chacune des différentes modélisations sandwichs citées précédemment. Dans un premier paragraphe, nous présenterons le problème de flexion cylindrique avec les hypothèses de comportement qui en découlent. Nous donnerons les expressions des déflexions et des contraintes de cisaillement de la théorie classique de sandwich, de la théorie de Sab et des théories multiparticulaires. On trouvera en annexe 2 les expressions de la solution de Pagano et quelques calculs qui ont conduit aux expressions des modèles multiparticulaires. Dans un second paragraphe, nous étudierons des exemples de panneaux sandwichs en flexion cylindrique pour lesquels nous déterminerons numériquement, pour les différentes modélisations, les déflexions maximales au centre de la plaque et les contraintes de cisaillement à une extrémité, à partir de leurs expressions analytiques. La flexion cylindrique désigne un problème de flexion unidimensionnelle de panneaux. Elle englobe en fait deux types de problèmes possibles selon que l’on puisse négliger la largeur h du panneau devant la longueur L, ou l’inverse (cf. figure 2.1). Cette distinction sur la géométrie du panneau sous-tend l’utilisation de deux types d’hypothèses de comportements différents. Dans le premier cas on utilise l’hypothèse de contraintes planes, et dans le second cas l’hypothèse de déformations planes.

Pagano a résolu les problèmes–de flexion cylindrique pour des panneaux de très grandes largeurs. Nous introduirons donc l’hypothèse de déformations planes dans l’étude de la flexion cylindrique avec le modèle classique de Reissner-Mindlin, celui de Sab et les théories multiparticulaires. Ainsi, les composantes du champ de déplacement pourront être approchées par l’écriture suivante, si la direction de sollicitation est l’axe g,, Pour la théorie classique et la théorie de Sab, Remarque: Puisque l’on considère que les peaux sont constituées par un matériau homogène, le sandwich est donc constitué d’un empilement de trois couches homogènes dont les constantes de souplesses se déterminent classiquement en fonction des propriétés des matériaux d’âme et des peaux. Nous adopterons les notations suivantes: Les exposants 1 et 3 feront références aux peaux, l’exposant 2 à l’âme. Pour les modélisations multiparticulaires, les constantes de souplesses dans la direction de sollicitation s’exprimeront de la façon suivante, Pagano a publié à la fin des années 60 les solutions exactes des champs de déplacements et des champs de contraintes des milieux composites multicouches dans le cas général d’une plaque de grande largeur sous un chargement sinusoïdal (Pagano 1969), L’analyse d’un problème de flexion cylindrique, avec la théorie classique de sandwich, a fait l’objet de nombreux développements dans la littérature des composites multicouches et sandwichs (Berthelot 1992). Nous ne ferons donc que rappeler les expressions utiles à notre étude.