Estimation des paramètres du modèle de frottement de lugre par l’analyse d’intervalle

Le frottement mécanique est un aspect important dans la commande des systèmes industriels, notamment dans les servomécanismes de haute précision, dans les actionneurs pneumatiques, hydrauliques, ainsi que dans les valves. Ce phénomène physique complexe entraîne souvent des erreurs de positions en régime permanent. La modélisation du frottement a retenu l’attention d’un bon nombre de chercheurs depuis plusieurs années. Dans la dernière décennie, plusieurs modèles dynamiques [1-3] ont été développés pour mieux décrire le phénomène du frottement. À cause des incertitudes paramétriques de ces modèles, et de par leurs caractéristiques non linéaires, il est primordial d’effectuer une identification rigoureuse de ces paramètres qui tiendra compte de ces particularités afin de construire des contrôleurs plus précis et plus robustes.

Le modèle de frottement de LuGre [2], récemment développé par le laboratoire d’automatique de Grenoble en France et l’institut de technologie de Lund en Suède est un modèle dynamique non linéaire à paramètres incertains. Ce modèle, qui a été retenu pour l’étude présentée dans ce mémoire, représente autant les aspects macroscopiques que microscopiques du frottement.

Les méthodes classiques, dite ponctuelles, d’identification des paramètres sont généralement basées sur les méthodes des moindres carrées. Celles-ci peuvent être vues comme des problèmes d’optimalisation qui se résolvent avec des techniques locales telles que les méthodes de Gauss Newton, de quasi-Newton ainsi que celle du gradient conjugué [4]. Ces approches n’offrent aucune garantie sur la qualité de l’estimation, pas plus que sur la confiance qu’on peut accorder à la solution obtenue.

Par ailleurs; il existe des techniques d’optimisation globales tels que les algorithmes génétiques [ 4], [28] où l’ exploration aléatoire de l’ espace de recherche contourne le problème du choix de la valeur initiale rencontré par les méthodes locales. Malgré une exploration plus exhaustive de l’espace des solutions, ces nouvelles méthodes ne garantissent pas toujours la convergence vers l’optimum global dans un nombre fini d’itérations.

Une approche alternative d’estimation des paramètres, basée sur l’analyse d’intervalle et l’inversion ensembliste, dite estimation de paramètres à erreurs bornés (Bounded -error estimation), a fait ses preuves dans plusieurs domaines notamment en électrochimie [4], en commande et en traitement des signaux [5]. Cette approche permet de cerner non pas un point (un estimé des paramètres), mais plutôt un ensemble des tous les paramètres qui sont jugés acceptables et compatibles avec les données mesurés et leurs incertitudes.

Frottement 

Le frottement est une force tangentielle qui apparaît lorsque deux corps entrent en contact. L’aspect de frottement demeure complexe à cause de la géométrie et la topologie des surfaces de contact, la nature des matériaux, la température, la vitesse relative de déplacement et la présence ou non de lubrifiant sur les surfaces. Ce sont les raisons pour lesquelles la modélisation du frottement demeure un domaine de recherche ouvert jusqu’à maintenant.

Les premières investigations dans ce domaine remontent au début du seizième siècle par Léonard de Vinci, où il formula deux lois sur le frottement. Il constata que la force de frottement est proportionnelle à la charge normale et que le coefficient de frottement est indépendant des caractéristiques de la surface de contact. Ces lois ont été redécouvertes par Amontons et développées par Coulomb deux siècles plus tard. Ce modèle est connu sous le nom de frottement de Coulomb.

Il existe une force de frottement qui est plus importante que la force de Coulomb. Cette force doit être vaincue avant que le mouvement se soit initié; c’est le frottement statique[6],[7].

Le frottement de Coulomb est un frottement étudié sur des surfaces en absence de lubrifiants. Plus tard un autre phénomène de frottement a été découvert en présence de lubrifiants entre les surfaces. Ce frottement est appelé frottement visqueux [6],[7]

Le passage de la force de frottement statique à celle de Coulomb se fait en réalité de façon graduelle en fonction de la vitesse. Cette transition entre le frottement statique et celui de Coulomb ne peut être décrite par les modèles présentés précédemment lorsque les surfaces en contact sont lubrifiées. Cette transition par une courbe continue de pente de viscosité négative dite courbe de Stribeck, ou appelé communément effet de Stribeck [8].

D’autres phénomènes, tels que l’hystérésis entre la force de frottement et la vitesse de déplacement ainsi que l’adhérence (ou préglissement) qui provoque un très faible mouvement aux vitesses proches de zéro, ont été découverts par la suite. Afin de comprendre tous ces phénomènes de nature dynamiques, des chercheurs ont tenté d’établir de nouveaux modèles de frottement. Parmi ces modèles, on retrouve le modèle de Dahl [9], [18] Bliman & Sorine [9] ainsi que le modèle de LuGre [2]. Récemment Swevers [3],[10] a proposé un modèle qui est une amélioration du modèle de LuGre, mais ce dernier reste encore non utilisé en pratique à cause de sa trop grande complexité.

Identification 

Afin de réduire les effets indésirables du frottement, particulièrement dans la commande des systèmes industriels, plusieurs techniques de compensation telle que la compensation adaptative [11], la compensation prédictive du frottement de Coulomb et la compensation par un gain élevé en boucle fermée [ 6] ont été utilisées. Ces techniques nécessitent d’abord un modèle de frottement qui reflète de façon précise les effets du frottement dans le système à commander. Pour plusieurs de ces techniques, une estimation des paramètres du modèle est nécessaire. Or, le frottement présent dans les servomécanismes est fortement non linéaire. Il peut varier en fonction du temps et peut dépendre de plusieurs facteurs inconnus tel que la température, l’ état des surfaces de contact ainsi que la vitesse relative avec lesquels les corps en contact se déplacent. Les techniques utilisées jusqu’à aujourd’hui pour l’estimation de ces paramètres se basent sur les méthodes des moindres carrés ou des algorithmes d’optimisation non linéaires. Dans son expérience, Altpeter [12] a appliqué ces mêmes techniques pour l’estimation des paramètres de modèle de LuGre en utilisant les propriétés de ce modèle. Malheureusement si ces techniques sont utilisées dans des conditions d’expérience différentes, les résultats obtenus peuvent être différents. De surcroît, il n’existe aucun moyen de garantir la consistance des résultats obtenus. Une autre approche d’identification dans le domaine fréquentiel en régime de préglissement a été proposé par Hensen [13]. Cette technique est basée sur une linéarisation du modèle de LuGre.

Les méthodes proposées jusqu’à maintenant, ne tiennent pas compte de l’incertitude paramétrique. De plus, des approximations doivent être faite pour effectuer l’identification.

À la différence des techniques classiques citées plus haut, la méthode qui est étudiée dans ce mémoire, connue sous le nom d’estimation à erreurs bomées(Bounded -error estimation), est basée sur l’analyse par intervalle [4], [5], [24]. L’estimation obtenue n’est plus un point ou un vecteur ponctuel, mais plutôt un ensemble de tous les paramètres qui sont jugés acceptables et compatibles avec les données et leurs incertitudes.