Estimation de la durée de vie en fluage de l’organe d’admission pour une centrale thermique

Nous nous proposons de présenter la démarche suivie pour étendre le modèle de grandes déformations de Miehe et al. (présenté dans le chapitre 3) à la formulation mixte à trois champs (présentée dans le chapitre 4). L’extension à la formulation mixte à deux champs et aux méthodes de stabilisation se fait de façon similaire.

Il s’agit d’un cas test très utilisé dans la littérature que ce soit en petites ou grandes déformations [Elguedj et al.(2008), Kasper et Taylor(2000), Ramesh et Maniatty(2005)]. Son extension aux grandes déformations a été proposée par Simo et Armero [Simo et Armero(1992)] et a été reprise par d’autres auteurs tels Mathisen [Magne et al.(2011)]. Il s’agit d’une membrane, qui est encastrée d’un côté, et sur laquelle on exerce une traction de f = 0, 3125N/mm2 au niveau d’un sommet du côté opposé. La géométrie et les conditions aux limites sont représentées dans la Figure 5.1.

On considère un modèle de plasticité J2 comme dans [Magne et al.(2011)]. La partie plastique est régie par un écrouissage isotrope non-linéaire, avec une règle d’écoulement plastique basée sur le critère de Von Mises, de sorte que la limite d’élasticité σY s’exprime en fonction de la déformation plastique équivalente ep,

Les paramètres du matériau sont ceux considérés par Simo et Armero, de sorte que le module de compressibilité vaut κ = 164, 21M P a et le module de cisaillement µ = 80, 1938M P a. La quantité qu’il est intéressant d’observer est le déplacement vertical du coin supérieur droit de la plaque (point A de la Figure 5.1). Sa convergence vers une limite asymptotique en fonction du nombre d’éléments par côté (Figure 5.2) pour des maillages structurés, est souvent utilisée comme critère de performance.

La Figure 5.3 représente le déplacement du point A selon l’axe y en fonction du nombre  d’éléments par côté pour les différents éléments éléments implémentés : les éléments P1, P2, P1/P1/P1 stabilisé avec la méthode OSGS, P1+/P1/P1, P2/P1/P1, P2/P2/P1, mais également les éléments issus de la formulation mixte à deux champs, à savoir l’élément P1/P1 stabilisé par la méthode OSGS, l’élément P1+/P1 et P2/P1. La Figure 5.4 représente quant à elle le déplacement du point A selon l’axe y en fonction du nombre de degrés de liberté.

Ainsi la Figure 5.3 montre que comme on peut s’y attendre, l’élément P1 souffre d’un phénomène de verrouillage sévère, même pour des maillages fins et donc, ne converge pas. Les résultats obtenus avec les éléments P2 et P2/P2/P1 sont très proches ; ils sont moins mauvais pour un maillage grossier que le P1, mais moins bons que ceux obtenus avec le P2/P1/P1 ou P2/P1, qui ont la meilleure convergence. Les résultats obtenus avec le P1+/P1, P1+/P1/P1 sont similaires et d’une qualité moindre par rapport aux éléments quadratiques : étant donné qu’à nombre d’éléments égal on a moins de degrés de liberté avec un élément linéaire que quadratique, cela se ressent sur la qualité des résultats pour des maillages grossiers. Il en est de même pour les éléments P1/P1/P1 et P1/P1 stabilisés avec la méthode OSGS pour des maillages grossiers. Pour des maillages fins cependant, les valeurs obtenues avec ces éléments-là sont similaires à celles obtenues avec les éléments P2/P1/P1 et P2/P1. Notons également que pour ce cas, les éléments issus de la formulation mixte à trois champs et deux champs donnent les mêmes résultats. Ainsi sur ce cas, la méthode OSGS donne des valeurs sur le déplacement plus proches de ceux obtenus avec les éléments intrinsèquement stables que le mini-élément pour des maillages fins. D’après la Figure 5.3, on constate que toutes les valeurs tendent vers 6, 8mm. Nous proposons donc de prendre cette valeur comme référence et de comparer l’erreur relative obtenue avec chacun des éléments, en fonction du nombre de degrés de liberté.

La Figure 5.5 montre qu’à nombre de degrés de liberté de maillage égal, Mini-élément et méthode OSGS donnent une erreur très proche avec une différence allant jusqu’à 5% au plus.

Ainsi la Table 5.3 montre que l’élément P1+/P1 permet de gagner en temps de calcul par rapport à l’élément P2/P1, de même que l’élément P1+/P1/P1 par rapport à l’élément P2/P1/P1. Sur ce cas, les éléments P1/P1 OSGS et P1/P1/P1 OSGS sont moins coûteux que les éléments P2/P1/P1 et P2/P1. Cependant, il faut noter que pour atteindre une erreur donnée, les éléments quadratiques nécessitent un maillage plus grossier que les éléments linéaires. Ainsi, le gain en terme de temps CPU dû au choix d’éléments linéaires ou quadratiques ne peut être tranché dans ce cas.

Afin d’avoir une idée plus précise du lien entre entre qualité et temps de calcul des différents éléments, nous choisissons de représenter sur la Figure 5.6 l’erreur relative en déplacements en fonction du temps CPU pour le maillage de 1800 éléments.

Le Table 5.3 contient les temps de calcul, le nombre d’itérations, et l’erreur relative pour le maillage le plus dense contenant 1800 éléments.

La Figure 5.6 montre que malgré le temps de calcul plus faible avec les éléments P1+/P1 et P1+/P1/P1, l’erreur obtenue est plus importante qu’avec les éléments P1/P1 OSGS et P1/P1/P1 OSGS, dont la valeur est très proche de celle obtenue avec les éléments P2/P1 et P2/P1/P1. Il est cependant important de noter que les temps CPU sont donnés à titre indicatif, mais évidemment une étude plus poussée de cette efficience doit se faire à travers un benchmark dédié. Ici la qualité des résultats est notre principal intérêt, avant toute optimisation des temps de calculs où la méthode de résolution autant que les critères de convergence choisis vont influer sur les temps CPU.

On considère un cube soumis à une pression de 1000P a sur le plan {z = 10}, comme montré sur la Figure 5.7. Afin de réduire les temps de calcul, seul un quart du cube est modélisé, le reste étant généré grâce aux conditions de symétrie :

    • sur le plan {z = 0} dz = 0

    • sur le plan {x = 0} dx = 0

    • sur le plan {y = 0}, dy = 0.