Estimateurs a posteriori pour le problème de Signorini avec frottement de Coulomb

Ce chapitre traite des estimateurs d’erreur par résidu pour les approximations par élé- ments finis des problèmes de contact avec frottement de Coulomb. Un résultat récent d’unicité de Renard dans [203] pour le problème continu nous permet de réaliser l’analyse de l’erreur a posteriori. On propose, étudie et implémente deux estimateurs d’erreur asso- ciés à deux discrétisations par éléments finis. Dans les deux cas, les estimations permettent e problème de contact unilatéral sans frottement présente une non-linéarité sur le bord correspondant à la non-pénétration des matériaux sur la zone de contact qui mèneà une inégalité variationnelle du premier ordre. Pour ce modèle, la méthode basée sur les résidus a été considérée et étudiée dans [58, 108, 237] par une approche pénalisée et dans [38] en utilisant la technique de mesure d’erreur développée dans [27]. Plus récem- ment, l’analyse sans terme de pénalisation a été achevée dans [127], et dans [128] pour l’approximation par éléments finis mixtes correspondante (voir aussi [30]). De plus, le concept d’erreur en relation de comportement a permis d’élaborer un estimateur d’erreur dans [71, 72, 234, 235] pour le problème du contact et l’estimation d’erreur a posteriori pour la méthode des éléments frontières a été étudiée dans [171, 172]. Plus généralement, on mentionne que l’analyse de l’erreur par résidu pour les inégalités variationnelles mène à des difficultés techniques importantes quel que soit le modèle. Notons aussi qu’un im- portant travail a été réalisé pour les problèmes d’obstacle dans lequel l’inégalité a lieu sur tout le domaine (voir [2, 5, 47, 48, 65, 90, 133, 140, 152, 167, 189, 190, 222, 229]). D’autres analyses a posteriori contenant des inégalités liées à la plasticité ont été considérées .

Plusieurs estimations d’erreur a posteriori ont été effectuées pour le modèle avec frot- tement de Coulomb : erreur pour la relation de comportement dans [69, 169] aussi bien qu’un estimateur heuristique par résidu pour la discrétisation par la méthode des éléments frontières dans [89]. Le modèle plus simple de frottement de Tresca est traité dans [43] (voir aussi [44] pour l’étude d’un problème similaire où les estimateurs par résidu sont analysés). Notons que ce dernier modèle est gouverné par une inégalité variationnelle du second ordre (voir [13]). Finalement une analyse a posteriori est traitée pour le modèle de frottement avec compliance normale dans [161].Notre but est de s’occuper de l’analyse de l’erreur a posteriori du modèle de frotte- ment de Coulomb et d’obtenir une estimation avec des bornes supérieure et inférieure par rapport à l’erreur de discrétisation. Dans la première section, on définit le problème continu de contact unilatéral avec frottement en élasticité linéaire en rappelant les résul- tats d’existence et d’unicité et on écrit le problème en utilisant une formulation mixte où les inconnues sont le champ de déplacement et les pressions de contact frottant sur la zone de contact. Ensuite on choisit une discrétisation classique à l’aide d’éléments finis continus de degré un et de multiplicateurs continus affines par morceaux sur la zone de contact. La section 3 concerne l’étude de l’estimateur d’erreur découlant de cette discrétisation. Grâce au résultat d’unicité de Renard, on obtient une borne supérieure de l’erreur. Les bornes inférieures sont aussi démontrées. Dans la partie suivante, on s’intéresse à un nouvel es- timateur provenant d’une autre discrétisation. Cette seconde approche a deux propriétés intéressantes par rapport au premier estimateur : il contient moins de termes provenant du contact-frottement et ces termes ont une expression plus simple. De plus, l’analyse de l’erreur mène à des meilleures bornes. On termine par des résultats numériques et la comparaison des deux approches.

On choisit un petit coefficient de frottement µ = 0.1 sachant que l’exemple numérique de [234] est sans frottement. La Figure 3.11 représente les configurations initiale et défor- mée du corps (avec NC = 64). Le bord ΓC présente un point de transition entre le contact et la séparation proche de (0.08, 0). A cause du petit frottement, on observe que le dernier élément du contact près de (0.5, 0) est collé à la fondation. La Figure 3.12 montre les déplacements et les forces sur ΓC .η pour lesquels aucun résultat théorique optimal n’a été prouvé se comportent mieux que théoriquement. On a ainsi élargi le résultat obtenu par Hild et Nicaise [128] pour le problème de Signorini au problème de contact avec frottement de Coulomb.