Espace vectoriel affine et l’espace métrique

TENSEURS

Espaces vectoriels affines. Espaces vectoriels métriques

Les propriétés des tenseurs seront très différentes suivant la nature des espaces dans lesquels ils seront définis. L’usage impose de distinguer deux cas : l’espace vectoriel affine et l’espace métrique qui contient les espaces vectoriels euclidien. La distinction est importante car si certaines formules tensorielles prennent des formes simples dans un espace euclidien, il est parfois nécessaire d’employer des espaces vectoriels affines.

Espaces vectoriels affines

Dans ce type d’espace, on admet les postulats qui permettent de définir des vecteurs. L’espace à n dimensions comportera n axes de coordonnées ayant à priori chacun une unité particulière. Un vecteur arbitraire sera représenté par ses composantes suivant les différents axes sur lesquels nous aurons au préalable défini des unités .La longueur absolue du vecteur ne peut pas être définie puisqu’il n’y a aucune commune mesure entre les différentes composantes . La distance de deux points ne peut pas être mesurée. De prime abord, ces notions surprennent et on comprend mal l’utilité de ce type d’espace. Toutefois en physique on fait souvent usage de figures ou de diagrammes tracés en géométrie affine. En thermodynamique par exemple, on trace des diagrammes d’états faisant intervenir les variables pression, volume et température. Pour le mécanicien, la loi de comportement d’un matériau peut parfois être représenté dans un espace affine des variables contraintes et déformations. Dans un espace affine, c’est une pure convention que de tracer des axes orthogonaux. En effet, si on ne peut pas définir une longueur, il est impossible de parler d’angle. Dans ce type d’espace, une fonction se représentera par une courbe. Mais, suivant les conventions d’unités et d’axes, cette courbe se déformera. Par contre certaines relations conserveront un sens invariant. Ainsi en thermodynamique, une loi d’évolution d’un gaz peut être représentée dans le diagramme de Clapeyron (pression, volume). Ce diagramme représente évidemment un espace affine, mais pour une évolution quelconque, le produit des variables pression-volume représente une énergie qui doit être indépendante du mode de représentation utilisé. C’est en jouant sur cette notion importante d’invariant que le mécanicien trouve certaines formules de loi de comportement d’un matériau.

Espaces vectoriels métriques

En géométrie métrique, on ajoute une condition supplémentaire, qui permet de définir la distance entre deux points ou la longueur d’un vecteur. Dans le cas le plus simple, celui de l’espace euclidien, on se défini un repère orthogonal, dont les vecteurs ont tous un même module égal à une unité choisie arbitrairement. On peut ensuite construire une infinité d’autres repères rectilignes ou curvilignes, au moyen d’un changement de coordonnées. Dans ce changement, toute longueur doit rester invariante. Bien entendu, la notion de longueur permettra ensuite de définir la notion d’angle. Le problème associé à l’algèbre tensorielle, c’est que nous ne commençons pas par ce type de géométrie, contrairement à ce qui est fait en géométrie élémentaire. Cette algèbre tensorielle, bien plus générale que la petite géométrie d’arpentage a la prétention de devenir la géométrie générale de la physique, en généralisant les phénomènes physiques.

Espaces vectoriels mixtes

Entre les deux cas purs (affine et métrique), il convient de noter qu’il existe des espaces mixtes, qui seraient affines vis-à-vis de certaines coordonnées et métriques pour d’autres. Ainsi la représentation d’une répartition de pression sur une surface peut être représentée dans un espace . Cet espace est métrique dans le plan mais pas dans les autres plans.

Algèbre tensorielle en espace affine

Contravariance

Soit un espace vectoriel de dimension n sur un corps K de scalaires. Dans la suite du cours, nous considérerons que la dimension de En est finie et que le corps K est commutatif. Dans ce chapitre, nous supposerons que est doté simplement d’une structure affine. C’est-à-dire que , outre l’égalité, les seules relations envisagées entre les éléments de seront l’addition et la multiplication par un scalaire.

Les formules précédentes amènent la remarque suivante :

Alors que la nouvelle base a été définie en fonction de l’ancienne à l’aide des éléments de la matrice A, les nouvelles composantes du vecteur s’expriment en fonction des anciennes à l’aide de la matrice inverse B. On exprime ce fait en disant que les composantes d’un vecteur de sont contra variantes dans un changement de base sur cet espace. On dit qu’un vecteur de est un tenseur contra variant du premier ordre sur.