EQUILIBRE GENERAL AVEC MARCHES
FINANCIERS INCOMPLETS

Rappels sur la théorie de l’équilibre général 

Le modèle d’équilibre général de Walras

Le modèle d’économie 

On considère une économie d’échange à une seule période. H agents économiques (h = 1, . . . , H) s’échangent L biens (l = 1, . . . , L) sur les marchés. Chaque agent h est caractérisé par son ensemble de consommation Xh ⊂ RL et une relation de préférence h définie sur RL représentée par sa fonction d’utilité u h : R L + → R. Chaque agent h a une dotation initiale w h ⊂ RL . Une allocation réalisable pour cette économie est un vecteur (x 1 , . . . , xH) dans X1 × . . . × XH tel que : Σ H h=1x h = ΣH h=1w h 

La Pareto optimalité

 Une allocation réalisable (x 1 , . . . , xH) est Pareto optimale s’il n’existe pas une allocation réalisable (ˆx 1 . . . , xˆ H) telle que : u h (x h ) ≤ u h (ˆx h ), h = 1, . . . , H avec au moins une inegalite stricte. On note que la Pareto optimalité ou optimalité au sens de Pareto est la notion d’optimalité de référence dans la théorie économique, et notamment dans la théorie de l’équilibre général. 

 1.1.3 Le Prix d’équilibre

 Une allocation réalisable (ˆx 1 . . . , xˆ H) et un vecteur de prix p ∈ R L constituent un prix d’équilibre si pour tout h et tout x h : si p.xh ≤ p.xˆ h , alors uh (x h ) ≤ u h (ˆx h ). 

 L’équilibre walrassien

 Une allocation réalisable (x 1 , . . . , xH) et un vecteur de prix p ∈ R L constituent un équilibre walrassien s’ils contituent un prix d’équilibre et p.xh ≤ p.wh . Un équilibre walrassien vérifie les propriétés d’existence, d’unicité locale et de la Pareto optimalité.

Le modèle d’Arrow-Debreu avec marchés contingents

 Le modèle d’économie

On considère une économie d’échange à deux périodes (t = 0, 1). En t = 0 l’état de la nature qui se réalise est connu. L’incertitude est introduite dans le modèle pour la deuxième période : en t = 1 seul parmi les S états de la nature (où états contingents) possibles se réalise, s = 1, . . . , S. L’économie comprend H agents économiques (h = 1, . . . , H) et L biens (l = 1, . . . , L) : le nombre total de biens est donc L(S + 1). Chaque agent h a une dotation initiale w h = (w h 0 , wh 1 , . . . , wh S ) ∈ R L(S+1) ++ et choisit un vecteur de consommation x h = (x h 0 , xh 1 , . . . , xh S ) ∈ R L(S+1) + . Chaque agent h a une relation de préférence h sur R L(S+1) représentée par la fonction d’utilité u h : R L(S+1) + → R, h = 1, . . . , H. Tous les marchés s’ouvrent en même temps au début de la première période, et les échanges s’arrêtent à la fin de cette première période même. Le vecteur de prix est noté par p = (p0, p1, . . . , pS) ∈ R L(S+1) ++ 

L’équilibre d’Arrow-Debreu

 L’équilibre d’Arrow-Debreu de cette économie est constitué par une allocation (¯x h ) et un système de prix p tels que : (i) (¯x h )h=1,…,H ∈ Bh (p, q) = {x ∈ R L(S+1) + /ps.(x0 − w h s ) = 0} maximise u h (x h ); (ii) PH h=1 x¯ h = w h . L’équilibre d’Arrow-Debreu possède les propriétés que l’équilibre walrassien : l’existence, l’unicité locale et la Pareto optimalité.