Équations multiplesen univers stationnaire

Ce chapitre traite des modèles économétriques à plusieurs équations. Il s’intéresse d’abord aux régressions simultanées et à la méthode SUR, puis aborde les modèles à équations simultanées, dénit les notions importantes de forme structurelle et de forme réduite, avant de décrire les conditions d’identication des paramètres. Il passe ensuite en revue quelques méthodes d’estimation des modèles à équations simultanées : les doubles moindres carrés, les triples moindres carrés et le maximum de vraisemblance à information complète.L’objectif de cette section est d’étudier l’estimation d’un modèle à plusieurs équations, ayant chacune des variables explicatives dif- férentes, et dont les termes d’erreur contemporains sont corrélés entre eux, mais indépendants des variables explicatives. Un tel modèle est composé de m équations de type :Ces équations sont appelées équations SUR (Seemingly Unrelated Regression) par Zellner [ZEL 1962]. La méthode SUR permet d’obtenir des estimations plus précises des coefcients que celles obtenues en appliquant simplement les MCO à chaque équation. En raccordant bout à bout les vecteurs Ysont connues, il est logique d’estimer ce modèle par la méthode des moindres carrés généralisés, dite MCG (voir chapitre 3). Toutefois, elles ne sont pas connues dans la réalité. Zellner [ZEL 1962] propose d’estimer d’abord chaque équation séparément par MCO :On montre que ces estimateurs sont plus précis (variance plus faible) que ceux que l’on obtient en estimant chaque équation indépendamment par MCO. L’explication est simple : la méthode SUR tient compte des corrélations contemporaines entre les termes d’erreur des différentes équations. Toutefois, si les covariances contemporaines sont toutes nulles, ou si les variables explicatives sont les mêmes dans les m équations (X), les estimateurs SUR et les estimateurs de MCO de chaque équation prise indépendamment sont égaux.

Systèmes d’équations simultanées et identiecation

Pour comprendre ce qu’est un modèle à équations simultanées, il faut distinguer les variables endogènes des variables exogènes. Les premières sont telles que leur valeur en t est déterminée par le modèle alors que les secondes ne sont pas déterminées par le modèle : elles sont données telles quelles et, conditionnellement à leur valeur, le modèle détermine les valeurs des variables endogènes. Les variables exogènes et endogènes retardées sont dites prédéterminées.Un modèle à équations simultanées décrit la manière dont se déterminent simultanément les valeurs de G variables endogènes à la période t, en fonction des valeurs contemporaines ou retardées de certaines variables exogènes, et d’éventuelles valeurs retardées des variables endogènes. Certaines variables endogènes sont fonction d’autres variables endogènes et cette simultanéité produit des équations apparemment linéaires, où le terme d’erreur est lié aux variables explicatives.est exogène et vaut 1 à toute période t, de manière à avoir une constante dans les équations. Le système formé par les équations structurelles et les identités s’appelle forme structurelle et peut s’exprimer de manière matricielle :La théorie économique, nancière, ou marketing, suggère des restrictions a priori sur les paramètres de B et G. Sans ces restrictions, les G équations seraient similaires et il serait impossible d’estimer leurs coefcients. Quand on xe les valeurs des éléments de B et G, la forme structurelle est un système de G équations permettant de déterminer les valeurs des G variables endogènes Y.

on montre que le nouveau système et l’ancien ont exactement la même fonction de vraisemblance. Il manque donc des informations dans les données pour déterminer si les coefcients vrais inconnus valent B et G, ou bien FB et FG. Les deux formes structurelles sont équivalentes en observation. On montre qu’elles ont exactement la même forme réduite. Sans restrictions, les coefcients de B et G ne sont donc pas identiés : plusieurs valeurs de B et G impliquent les mêmes valeurs des coefcients P de la forme réduite. Si l’on connaît les valeurs des coefcients de P, on ne peut donc pas trouver de manière unique les coefcients de B et G. Pour identier certains paramètres de B et G, il faut imposer des restrictions valables à la fois sur les coefcients des matrices B et G et sur les coefcients des matrices FB et FG résultant de toute transformation de la forme structurelle.