ÉQUATIONS DE MAXWELL EN 2D

c’est-à-dire, un ensemble ouvert borné connexe à frontièrelipschitzienne. Pour simplifier, nous supposons ∂Ω connexe. En 2D, ceci est équivalent à supposer Ω simplement connexe. Nous préciserons dans la suite où cette hypothèse intervient et nous verrons en 3D, dans le Chapitre 9, comment procéder lorsque ∂Ω n’est pas connexe. Nous définissons alors D := {(x, y, z) ∈ Ω × R}. Nous considérons un milieu D entouré par un conducteur parfait. En . D’après les résultats du §4.2.1 du Chapitre 4, nous pouvons modéliser les propriétés de métal en prenant ε(ω) = ε En vertu de la simplification (7.6), nous sommes ramenés à un problème 2D et jusqu’à la fin de ce chapitre, nous travaillerons avec des champs définis sur Ω. Pour simplifier, nous suppo- sons que le terme source J := (J . Dans la Section 7.2, nous démontrerons deux résultats liant les problèmes scalaires avec condition de Dirichlet homogène et condition de Neumann homogène. Ces résultats vrais uniquement en 2D, montrerons que l’hypothèse supplé- mentaire que nous avons introduite n’est pas très contraignante. Nous définirons dans la Section 7.3, le nouveau cadre fonctionnel qu’il faut adopter pour obtenir un problème bien posé pour H lorsque la condition supplémentaire n’est pas remplie. Nous résumerons ensuite, en 7.4, l’étude pour le problème TE. Enfin, nous terminerons par une illustration des résultats que nous avons obtenus dans le cas d’une géométrie très simple.

Intéressons-nous tout d’abord au problème TM. Pour montrer que ce problème est bien posé, autrement dit pour prouver qu’il possède une unique solution dépendant continûment de la donnée J , on construit une formulation équivalente et on travaille ensuite sur cette dernière. La méthode la plus simple, et la plus utilisée en pratique, consiste à définir un problème pour le champ scalaire. Comme nous l’avons indiqué au début de ce chapitre, c’est plutôt inhabituel car il faut résoudre un problème vectoriel au lieu d’un problème scalaire, mais cela peut permettre d’avoir une meilleure précision sur H . Nous souhaitons mettre en évidence une originalité du cadre fonctionnel liée à la présence des matériaux négatifs. Si l’on procède comme pour les diélectriques classiques, on peut aboutir à une formulation variationnelle pour H qui n’est pas équivalente au problème (7.9).(µ; Ω). Lorsque µ est positif, on sait d’après [150] que cette propriété de compacité est valable. Dans un premier temps, suivons cette démarche. De la Proposition 7.1.3, nous déduisons sans peine la équivalente au problème (7.9), nous avons besoin d’une réciproque à la Proposition 7.1.4. Nous allons voir que cette réciproque n’est pas toujours vraie, dans le sens où, à partir d’une solution du problème (7.18), on ne peut pas toujours construire une solution de (7.9). Pour mettre en évidence ce phénomène, définissons l’espace des fonctions à moyenne nulle.