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Equations aux dérivées partielles elliptiques du
quatrième ordre
Inégalités de Sobolev
Le théorème de Sobolev pour les espaces Lp avec 1 p = 1 q − 2 n et H q 2 (1 ≤ q < n 2 ) s’énonce ainsi : l’inclusion H q 2 ⊂ Lp est continue. On sait que le théorème de Kondrakov dans ce cas n’est pas valide: l’inclusion H q 2 ⊂ Lp n’est pas compacte. Par contre l’inclusion H q 2 ⊂ Lr avec 1 ≤ r < p est compacte. Ici nous supposons que la variété est compacte. Mais dans le cas où elle est seulement complète le théorème de Sobolev est encore vrai si la variété a un rayon d’injectivité positif et une courbure de Ricci bornée inférieurement (par −β une constante). D’après ce qui précède nous avons: −l’inclusion H q 2 ⊂ Lp continue mais non compacte avec p = nq n−2q , −l’inclusion H q 2 ⊂ Lq compacte. En effet p = qn n−2q > q. Dans cette situation s’applique le théorème d’Aubin [4]. Il existe des constantes A et C telles que pour tout ϕ ∈ H q 2 (1.3) k ϕ kp≤ C k ϕ kH q 2 +A k ϕ kq . La meilleure constante K2= inf C telle que A(C) existe est strictement positive. Cette constante devrait dépendre des trois Banach H q 2 , Lp et Lq, en fait on montre qu’elle ne dépend que de n et de q, K2 = K2(n,q). Théorème 1. Soient une variété riemannienne compacte (Vn,g) et q un réel 1 ≤ q < n 2 . La meilleure constante K2 introduite plus haut ne dépend que de n et de q (K2 = K2(n,q)). Ainsi pour tout > 0, il existe une constante A() telle que tout ϕ ∈ H q 2 vérifie (1.4) k ϕ kp≤ K2(n,q)(1 + ) k ϕ kH q 2 +A() k ϕ kq . Il n’existe pas de constante A avec C < K2(n,q) telle que (1.3) soit vérifiée pout tout ϕ ∈ H q 2 . Démonstration: 11 Nous voulons démontrer que la meilleure constante pour l’inclusion : H q 2 ⊂ Lp ne dépend de la variété que par sa dimension. Partons de la meilleure constante pour IRn muni de la métrique euclidienne . On sait d’après le lemme de Sobolev que tout ψ ∈ H q˜ 1 (IRn ) vérifie une inégalité du type (1.5) k ψ kp˜≤ C k ∇ψ kq˜ avec 1 p˜ = 1 q˜ − 1 n . Nous avons H q 2 ⊂ Hr 1 ⊂ Lp avec 1 r = 1 q − 1 n . D’où tout ϕ ∈ H q 2 vérifie (1.6) k ∇ϕ kr≤ C1 k ∇|∇ϕ| kq et k ϕ kp≤ C2 k ∇ϕ kr En effet comme |∇|∇ϕ|| ≤ |∇2ϕ| , voir Aubin[4], si ϕ ∈ H q 2 , alors |∇ϕ| ∈ Hr 1 et on peut appliquer (1.5) avec ψ = |∇ϕ|. On obtient en combinant les inégalités (1.6) (1.7) k ϕ kp≤ C k ∇2ϕ kq . Posons K2(n,q)=inf C dans (1.7), K2(n,q) est donc la meilleure constante pour l’inclusion H q 2 (IRn ) ⊂ Lp(IRn ) et tout ψ ∈ H q 2 (IRn ) vérifie (1.8) k ψ kp≤ K2(n,q) k ∇2ψ kq Retournons à la variété compacte Vn. Considérons un recouvrement de Vn par m boules Bi(1 ≤ i ≤ m) de rayon δ > 0 petit, un atlas associé {Bi ,ϕi}(1≤i≤m) et une partition de l’unité {ai}1≤i≤m subordonnée à ce recouvrement. Soit f ∈ C∞(V ), (1.9) k f k q p=k f q k p q =k Xm i=1 aif q k p q ≤ Xm i=1 k aif q k p q = Xm i=1 k a 1 q i f k q p . Ici les normes sont sur (Vn,g). Appliquons l’inégalité (1.7) à ψi = a 1 q i f ◦ ϕ −1 i . On trouve Z Ωi |ψi | p dE1 p ≤ K2(n,q) Z Ωi |∇2 Eψi | q 1 q 12 avec Ωi = ϕi(Bi), dE est l’élément de volume euclidien et ∇2 Eψi signifie que ∇2 est pris au sens de la métrique euclidienne. Notre problème est d’obtenir une inégalité analogue mais avec la métrique g. Sur Ωi , noté Ω pour simplifier, exprimons les dérivées de ψi , noté ψ en métrique g (noté pour (ϕi)∗g ), en fonction des dérivées euclidiennes. D’après le lemme (1.3) de Aubin [2] si le tenseur de courbure est borné RijklRijkl ≤ M2 et si ∇mRijkl∇mRijkl ≤ M2 (ce qui est le cas ici puisque la variété est compacte) il existe des constantes δ et c qui ne dépendent que de M telles que |∂k∂ρgij | ≤ c pour ρ < δ, le systeme de coordonnées étant normal en P, l’image par ϕi du centre de la boule Bi pour la métrique g. En conséquence pour Q ∈ Ω avec d(P,Q) = ρ, |∂kgij (Q)| ≤ cρ. Il s’en suit que Γ k ij (Q) = O(ρ) et gij (Q) = δ j i + O(ρ 2 ). Par suite en Q ∈ Ω g ikg jl∇klψ∇ijψ ≤ [1 + O(δ 2 )]|∇2 Eψ| + O(δ)|∇2 Eψ||∇ψ| + O(δ 2 )|∇ψ| 2 . Utilisons l’inégalité (a,b,η sont des constantes positives) : (1.10) ab < ηa2 + b 2 4η pour majorer le terme rectangle. Nous trouvons que quel que soit > 0 il existe δ() et C() tels que sur Ω |∇2 gψ| 2 ≤ (1 + )|∇2 Eψ| 2 + C()|∇Eψ| 2 . D’une manière analogue on établit que (1.11) |∇2 Eψ| 2 ≤ (1+)|∇2 gψ| 2+C()|∇gψ| 2 . Notons Ki = supp ai . Il existe deux réels positifs λ et µ tels que pour tout x ∈ S {1≤i≤m} Ki 0 < λ ≤ gjj (x) ≤ µ D‘où λ n 2 ≤ p |g(x)| ≤ µ n 2 et en utilisant (1.8) on trouve (1.12) Z V |ψ| p dV ≤ µ n 2 Z V |ψ| p dE ≤ µ n 2 K p 2 (n,q) Z V |∇2 Eψ| q dEp q . D’autre part, (1.11) entraîne (1.13) k ∇2 Eψ k 2 q=k |∇2 Eψ| 2 k q 2 ≤ 13 ≤ (1 + ) Z V |∇2 gψ| q dE2 q + C() Z V |∇gψ| q dE2 q ≤ ≤ λ − n q h (1 + ) k ∇2 gψ k 2 q +C() k ∇gψ k 2 q i . Et en utilisant (1.12) et (1.13) : (1.14) Z V |ψ| p dV 2 p ≤ ≤ µ n p K2 2 (n,q)λ − n q h (1 + ) k ∇2 gψ k 2 q +C() k ∇gψ k 2 q i où si l’on préfère en utilisant (1.10) ( différent mais toujours petit) (1.15) k ψ k q p≤ µ nq 2p K q 2 (n,q)λ − n 2 h (1 + ) k ∇2 gψ k q q +C() k ∇gψ k q q i . Nous avons pour un réel positif k indépendant de i: |∇gψ| = |∇g(a 1 q i f)| ≤ k|f| + |∇gf| et |∇ijψ| ≤ a 1 q i |∇ijf| + k (|f| + |∇gf|). Cette dernière inégalité entraîne moyennant (1.10) (1.16) |∇ijψ| q ≤ (1+η)|∇ijf| q ai+˜k(η) (|f| q + |∇gf| q ) quel que soit η > 0, ˜k dépendant de η. En intégrant on trouve Z V |∇ljψ| q dV ≤ (1 + η) Z V ai |∇ljf| q dV + ˜k Z V (|f| q + |∇gf| q ) dV Avec (1.9) et (1.15) on obtient (1.17) k f k q p≤ Xm i=1 k (a 1 q i f) k q p≤ ≤ µ nq 2p K q 2 (n,q)λ − n 2 » (1 + ) Xm i=1 Z V |∇2 gψ| q dV + C() Xm i=1 Z V |∇gψ| q dV # ≤ µ nq 2p K q 2 (n,q)λ − n 2 (1 + )(1 + η) Z V |∇2 f| q dV + C˜ Z V (|f| q + |∇gf| q ) dV . 14 D’après une inégalité d’interpolation (Aubin[4] p93) et (1.10), pour tout η > 0 il existe une constante C(η) telle que pour tout f ∈ C∞ (1.18) Z V |∇f| q dV ≤ η Z V |∇2 f| q dV +C(η) Z V |f| q dV. Nous pouvons par conséquent retirer du membre de droite R V |∇f| qdV. Enfin comme on peut choisir le rayon δ des boules aussi petit qu’on veut, on peut faire en sorte que λ et µ soient très voisins de 1. En faisant ainsi, ayant une autre valeur que précédemment mais étant toujours aussi petit qu’on veut, il existe une constante B() telle que ∀f ∈ H q 2 (V ) vérifie (1.19) k f k q p≤ (1+)K q 2 (n,q) k ∇2 f k q q +B() k f k q q puisque C∞ est dense dans H q 2 (V ). Cette inégalité (1.19) est équivalente à (1.4). A ce stade nous avons montré que K2, la meilleure constante dans l’inégalité (1.3) (pour (Vn,g)) vérifie K2 ≤ K2(n,q). Mais comme nous pouvons mener la même démonstration en intervertissant les rôles de (Rn ,E) et (Vn,g) nous établissons que K2(n,q) ≤ K2. Par exemple au lieu de (1.12) nous pouvons écrire λ n 2 Z Ω |ψ| p dE ≤ Z B |ψ˜| p dV ≤ h (1 + )K q 2 k ∇2ψ˜ k q q +B() k ψ˜ k q q i p q où ψ˜ = ψ ◦ ϕ. En conséquence K2 = K2(n,q) et le théorème 1 est démontré. Corollaire 1. Sur une variété riemannienne compacte de dimension n > 4, pour tout > 0 il existe une constante a() telle que ∀f ∈ H2(V ) vérifie (1.20) k f k 2 N ≤ (1+)K2 2 Z V |∆f| 2 dV +a() Z V |f| 2 dV avec N = 2n n−4 et K−2 2 = K−2 2 (n,2) = π 2n(n − 4)(n 2 − 4) nΓ( n 2 ) Γ(n) o . K2(n,2) est obtenu en utilisant les fonctions uλ extrémales du problème sur IRn (1.21) uλ(r) = Cn λ 1 + λ2r 2 (n−4) 2 où Cn est une constante qui ne dépend que de n. Preuve: Sur les variétés compactes d’après une égalité bien connue (pag 115 [4]): (1.22) Z V |∇2 f| 2 dV = Z V (∆f) 2 dV − Z V Rij∇i f∇j f dV ≤ 15 ≤ Z V (∆f) 2 dV + β Z V |∇f| 2 dV . D’où (1.4) et (1.18) entraînent (1.20). Sur IRn considérons la fonctionnelle J(ϕ) =k ϕ k −2 N Z V |∆ϕ| 2 dV. Soit µ˜ l’inf de J(ϕ) pour ∀ϕ ∈ H2(IRn ). Nous avons K−2 2 = ˜µ. En effet d’après la définition même de K2, K−2 2 ≤ µ˜ puisque (1.8) donne k ϕ k 2 N ≤ K2 2 (n,2) k ∇2ϕ k 2 2= K2 2 (n,2) Z V |∆ϕ| 2 dx en utilisant (1.22) valide pour ∀ f ∈ D(IRn ) avec la courbure de Ricci nulle. Rappelons que D(IRn ) est dense dans H2(IRn ). D’autre part on ne peut pas avoir K−2 2 < µ˜ puisqu’il existe des fonctions ϕ˜ ∈ D(IRn ) vérifiant k ϕ˜ k 2 N = h K2 2 (n,2) − η i k ∇2ϕ˜ k 2 2 avec η > 0 aussi petit qu’on veut. Nous avons J( ˜ϕ) = 1 K2 2 (n,2)−η aussi près de K−2 2 qu’on veut. On vérifie que les fonctions uλ(r) sont solutions de ∆2u = u N−1 sur IRn l’équation d’Euler du problème variationnel associé à J .
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