Équation intégro-différentielle à retard fini à noyau non linéaire

Introduction au retard fini 

 La présence de retards entre la commande et la sortie est un phénoméne courant dans de nombreux processus industriels, c’est le cas en particulier lorsqu’il y’a transport de matières. Ces retards entrainent des difficultés considérables dans la commande de ces processus. S’ils sont continus, de tels processus sont caractérisés par une représentation d’état de la forme : ˙ x(t) = f(t, x(t), u(t)) (2.1) où x est un vecteur d’état, u(t) désigne la commande appliquée au systéme à l’instant t. Lorsque la commande appliquée au systéme est du type retour d’état, par exemple : u(t) = Kx(t − τ ). (2.2) Alors l’équation précédente se réécrit : x˙(t) = f(t, x(t), x(t − τ )). (2.3) τ est la durée du retard temporel (par la suit on désignera cette quantité comme le retard). Cette dernière relation n’est plus une équation différentielle ordinaire, mais partis des équations à retards.Une équation différentielle à retard est une équation différentielle dont la dérivée par rapport au temps présent de la solution dépend d’une donnée sur un temps postérieur. Une équation différentielle à retard est un modéle spécifique d’équations différentielles Memeoire master 2 Quelques modèles 8 dans lesquelles la partie fonctionnelle de l’équation est l’évaluation d’une fonctionnelle sur une étape postérieur ( le passé ) du processus. L’utilisation des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles pour modéliser les phénoménes naturels, physiques ou biologiques posséde une longue histoire et remonte de Lokta et Volterrra. Les équations différentielles sont faites pour but, celui de mieux comprendre les phénoménes compliqués de la nature, il est avéré, par l’expérience que les simples modéles n’arrivent pas à cerner la variété riche de la dynamique observée dans les systèmes naturels. Il est devenu clair que pour bien comprendre ces phénoménes un terme avec retard doit être inclus. Dans une équation différentielle, un retard peut représenter l’arrivée à maturité d’un produit, une période d’incubation, temps de gestations, délais de transport ou aprés une action. Ainsi, mathématiquement, suivant la définition de N.Krasovskkii universellement admise, une équation différentielle à retard à la forme générale suivante : u˙(t) = f(t, ut), t ≥ 0. (2.4) Ici, f est un opérateur fonctionnel qui prend en entrée le temps et une fonction continue ut et génére u˙(t) comme sortie. La fonction historique ut du systéme est définie par : ut(θ)=u(t + θ) pour θ ∈ [−r, 0] avec r ≥ 0. Notons que ut(θ) représente une portion de la trajectoire de la solution dans un passé récent. L’équation (2.4) est un type trés général d’équations fonctionnelles et inclut les équations différentielles aux différences, les équations intégrales, les équations intégro-différentielles, les équations à retard distribué, etc. On apelle équation intégro-différentielles toute équation faisant intervenir à la fois les dérivées d’une fonction et ses intégrales. Par exemple pour examiner l’effet cumulatif du taux de mortalité d’une espèce, Volterra considère le modèle suivant : x˙(t) = rx(t)(1 − 1 K ˆ +∞ 0 F(t − s)x(s)ds) (2.5) Où r est le taux de croissance de la population, K est la capacité de charge du milieu. 2.3 Espace de phase Pour traiter les équations différentielles à retard fini, la condition initiale n’est plus un point x0, mais une fonctionnelle ϕ. Pour prendre en compte le retard dans la résolution de ce système, on introduit la notion espace de phase. Dans la littérature, l’espace de phase le plus retenu pour les équations à retard fini est l’espace C([−r, 0], X) qui est l’espace des fonctions continues de [−r, 0] dans X muni de la norme de la convergence uniforme.

Quelques modèles

 Dans cette section, nous donnons quelques modéles d’équations intégo-différentielles. Memeoire master 2 Quelques modèles 

Modèle démographique

 Le choix d’équations à retards pour modèliser l’évolution d’une population permet de tenir compte la notion d’espérence de vie. Par exemple, considérons le modèle suivant avec les notations x(t)= nombre d’individus à l’instant t, τ= temps de gestation, a= taux de natalité, σ= espérence de vie d’un individu. On suppose que τ , a et σ sont constants, le taux de variation de la population est alors donné par l’équation. x˙(t) = a[x(t − τ ) − x(t − τ − σ)] (2.6) ax(t−τ ) représente le nombre d’individus nés par unité de temps à l’instant t, et ax(t−τ−σ) est le taux d’individus morts à l’instant t.

 Modèle économique

 Le problème est tiré du livre sur les équations différentielles de Boyce et Diprima([15]) Une jeune personne sans capital initial investit k dollars par an pour un taux r d’intérêt annuel. On suppose que ses investissements sont fais continument et que les intérêts sont composés continument. Si r = 7, 5 pourcent on souhaite déterminer k pour qu’au bout de quarante ans cette personne encaissera un million de dollars Le problème est formulé par l’équation s˙(t) = 0, 075s + k s(0) = 0 (2.7) La solution est donnée en calculant s(40) Maintenant les quarante années sont achevées. On soppose que cette personne posséde une somme d’argent et souhaite l’investir et vivre au dépend de son investissement bancaire. Pendant les mauvaises périodes de taux d’intérêts réduits, un conseiller financier recommande aux clients des certificats bancaires qui arrivent à maturité aprés 90 jours et qui sont systématiquement renouvelés(réinvestis) aux taux d’inérêt existant. Intérêt et principal sont donc réinvestis. Cette procédure permettra aux investisseurs de prendre de l’avantage pendant les périodes à taux d’intérêts élevés. On constate que cette procédure devient aussi un réinvestissement continu comme dans le cas de k dollars par an Si la valeur totale est s(t), alors de l’investissement pur on aura s˙(t) = b(t)s(t − 1 4 ). (2.8) Le facteur s(t− 1 4 ) est le montant total qui à été investi trois mois auparavant et qui arrive à maturité aujourd’hui. Le facteur b(t) est le taux d’intérêt offert en ce temps. En outre notre homme retire continument un pourcentage du total pour ses dépenses et ses besoins. Il résulte une équation s˙(t) = −a(t)s(t) + b(t)s(t − 1 4 ) s(t) = φ(t) pour −1 4 ≤ t ≤ 0 (2.9) Memeoire master 2 Quelques modèles 10 Ici la condition initiale est une fonction donnée Où φ(t) : [−1 4 , 0] −→ R est exactement le montant s(t) investi au temps t. On peut tracer plusieurs conclusions pour cette personne. Premièrement , si la les solutions sont bornés alors le temps va vraisemblablement devenir difficile car l’inflation va éroder les valeurs et les factures de soins vont augmenter avec le temps. Actuellement, quelques études ont montré que les retraités qui ont un salaire qui voisine trois fois ses dépenses courants au début de sa retraite arrivent au désespoir au bout de quinze ans. En revanche, si les solutions sont tendance à s’approcher de zéro, alors la destinée de cette personne sera la pauvreté. Ces retraités, au moins, auront l’avantage d’ajuster leurs dépenses avec les exigences de l’époque. Évidemment, cet exemple garde le sens si a et b varient. Par exemple a(t) peut être négatif le jour où on apercevra des (taxes de)remboursements et b(t) peut être négatif le jour où la banque subira un échec. 

 Modèle Guerre et paix de Richardson 

Certains modèles de guerre et de paix ont été considérés par Richardson(1881-1953, voir[(20)]). IL a affirmé que les hommes, selon ses propos, sont guidés par leurs traditions qui sont fixés et leurs instincts qui sont mécaniques. Il suppose que les guerres commencent lorsque la course aux armements prend fin et il a estimé que la dynamique internationale pourrait être modèlisée mathématiquement en raison des motivations humaines. Il estime que sur une grande échelle de temps les hommes sont capables de distinguer le bien du mal. Avec ces idées Richardson essaya de développer une théorie sur la dynamique internationale pour servir de guide aux hommes d’état pour ajuster et bien gérer la politique intérieure et extérieure. Soient X et Y deux nations qui se suspectent mutuellement. Supposons que X et Y créent des stocks d’armes x et y respectivement. En général, x et y représentent « les menaces moins la coorpération » de sorte que des valeurs négatives possédent aussi un sens. Trois choses affectent l’accumulation des armes X 1- la charge économique, 2- la menace observée(lors des manifestations nationales) de y(t), 3- les suspicions et la peur de Y La même chose s’applique bien sûr Y . Richardson admet que chaque coté X comme Y posséde une connaissance parfaite et instantanée de l’arsenal militaire que détient l’adversaire et que la réaction de chaque coté peut se faire instantanée. De (1), il obtient x˙(t) = −a1x (2.10) car la charge est proportionnelle à la taille x, et de (2) il soutient que x˙(t) = −a1x + b1y (2.11) Memeoire master 2 Quelques modèles 11 puisque le terre est proportionnelle à la taille y. En conclusion, Richardson aboutit au système x˙ = −a1x + b1y + g1 y˙ = −a2y + b2x + g2 (2.12) avec ai , bi et gi i = 1, 2 sont des constantes positives où gi représentent la méfiance constante et où ai , bi sont affectés et fixés par la politique intérieure et extérieure. En 1978 Hill, a révisé ce problème et a reconnu des lacunes dans le modèle de Richardson. Il a estimé que celà va prendre du temps pour répondre à une situation et propose le modèle suivant : x˙ = a1x(t − T) + b1y(t − T) + g1 y˙ = −a2y(t − T) + b2y(t − T) + g2. (2.13) où T est une constante positive choisie de sorte que les solutions du système s’approchent de l’équilibre. 2.4.4 Modèle proies-prédateurs de Lokta-Volterra Le modèle prédateur-proie classique a été proposé par Volterra et Lokta en 1920, dans un ouvrage intitulé « Théorie mathématique de la lutte pour la vie » qui est probablement le premier traité d’écologie mathématique. Le modèle s’écrit sous la forme : x˙ = a1x(t) − b1x(t)y(t) y˙ = a2y(t) − b2x(t)y(t) (2.14) avec la condition initiale x(0) = x0, y(0) = y0. (2.15) où x(t) représente la population de proies et y(t) la population de prédateurs à l’instant t et a1, a2, b1, b2 sont des constantes positives. Si on suppose le fait d’un changement de la population des proies n’affectent pas immédiatement la population des prédateurs et inversement, le système (2.14) avec la condition initiale (2.15) devient une équation différentielle à retard de la forme x˙ = a1x(t) − b1x(t)y(t − r1) y˙ = a2y(t) − b2x(t − r2)y(t), (2.16) avec les conditions initiales x(0) = x0, x(s) = φ(s), y(0) = y0, y(s) = ϕ(s) −τ ≤ s ≤ 0. (2.17) Où r1 > 0 et r2 > 0 sont des retards et les fonctions φ(t) et ϕ(t) sont des fonctions initiales de l’histoire antérieure, τ = max[r1, r2] (pour de amples détails, exemple et informations, on vous conseille de consulter([33], [34], [40]).