Equation de Kirchhoff pour une plaque mince

Expression théorique de la réponse 

Description du problème

Dans l’espace tri-dimensionnel R 3 , nous définissons le repère cartésien (0; x, y, z). Une plaque élastique mince, de longueur Lx, de largeur Ly et d’épaisseur constante h est située dans le plan : {X = (x, y, z) : 0 < x < Lx; 0 < y < Ly; −h/2 < z < h/2}, (1.61) La plaque est composée d’un matériau homogène, isotrope et ses vibrations peuvent être modélisées par l’équation de Kirchhoff pour une plaque mince. Nous définirons donc, par la suite, les différentes grandeurs de la plaque au niveau du plan moyen {Σ = X|z=0}. La plaque est située dans un baffle infini Σ 0 , rigide, tel que {Σ∪Σ 0 = R 2 xy} et {Σ ∩ Σ 0 = ∂Σ}. Nous posons D = Eh3/12(1 − ν 2 ) la raideur en flexion de la plaque, et m = ρsh sa masse surfacique. E, ν et ρs représentent respectivement le module d’Young, le coefficient de poisson et la masse volumique de la plaque. L’amortissement mécanique de la structure est quant à lui lié aux caractéristiques d’amortissement du matériaux ainsi qu’au conditions aux limites et aux conditions d’interface de la structure. La plaque peut être soumise à des efforts de tensions latéraux et longitudinaux, que nous modélisons sous la forme de forces positives, Nx et Ny, agissant dans le plan médian Σ. La géométrie complète du problème (Figure 1.18) nécessite la prise en compte des deux espace situés au dessus et en dessous de la plaque, respectivement Ω +(z > 0) et  Ω −(z > 0). Ces deux espaces contiennent des fluides supposés acoustiques, de masses volumiques respectives ρ + et ρ −. Les célérités des ondes sonores correspondantes, dans ces deux milieux, sont notées c + et c −. Nous considérons que l’espace supérieur, Ω +, est un demi-espace infini, borné par le baffle plan Σ 0 . L’espace inférieur Ω −, quant à lui, est une cavité de dimensions (Lx, Ly, Lz). {Ω − = (x, y, z) : 0 < x < Lx; 0 < y < Ly; −Lz < z < 0}. (1.62) Nous considérons une excitation aléatoire de la plaque, sous la forme d’une variation de pression pariétale, se manifestant sous une couche limite turbulente complètement développée. Comme il s’agit d’un processus aléatoire, la vibration de la plaque, ainsi que les rayonnements acoustiques induits dans les deux espaces Ω + et Ω −, peuvent également être considérés comme des grandeurs aléatoires. La couche limite turbulente en question est liée à un écoulement dans le demi-espace supérieur Ω +, selon l’axe des x, avec une vitesse U∞ constante au loin de la paroi (z → ∞). Elle se développe donc à l’interface entre le fluide situé en Ω + et le plan (Σ ∪ Σ 0 ) contenant la plaque et le baffle rigide. 

Hypothèses

Dans le problème étudié, nous considérons de faibles déplacements de la plaque, par rapport à l’épaisseur de cette dernière. Ceci nous permet de supposer que nous restons dans le domaine linéaire et que le déplacement de la plaque n’a aucun effet sur les efforts de tension au sein de cette dernière. Les pré-contraintes de tension Nx et Ny sont constantes en fonction du temps. Nous considérons une couche limite turbulente totalement développée au droit de la plaque et nous supposons que la vibration de la plaque ne modifie pas les conditions de l’écoulement. La pression pariétale se développant sous la couche limite reste notamment inchangée, par la déformation de la plaque. Cette hypothèse est cohérente : tant que l’ordre de grandeur des déformations de la plaque w(x, y) est bien inférieur aux caractéristiques de la couche limite, δ∗ et θ. Etant donné que nous considérons une couche limite turbulente totalement développée, nous considérons un écoulement situé loin de la zone de transition laminaireturbulent, de telle sorte que l’écoulement soit peu sensible aux petites perturbations induites par la vibration de la plaque. Nous modélisons donc l’excitation, liée à la couche limite turbulente, par la variation de pression pariétale se développant sur un baffle rigide dans les mêmes configurations d’écoulement. Ceci nous permet d’obtenir l’excitation à partir des paramètres de la  couche limite, dans le cadre d’une modélisation, sans résoudre intégralement l’écoulement pour tout le domaine. Finalement, nous considérons que les pressions rayonnées dans les deux espaces Ω + et Ω − ne sont pas modifiées par la présence de l’écoulement en Ω +. Elles peuvent donc être représentées en considérant la propagation d’une onde dans des fluides au repos en Ω + et Ω −. Le problème peut donc être intégralement modélisé, en considérant une plaque dans un fluide au repos excitée par un effort aléatoire dont nous ne possédons qu’une représentation statistique dans le domaine des nombres d’onde-fréquence.

Mise en équation du problème

Nous notons w(x, t) la déformation du plan moyen Σ de la plaque, au cours du temps, au point de coordonnées {x = (x; y; 0)} et à la date t. Posons p +(z, t) et p −(z, t) les pressions acoustiques rayonnées, respectivement, dans les deux espaces Ω + et Ω −, aux points de coordonnées {z = (x; y; z > 0)} et {z = (x; y; z 6 0)} et à la date t. Nous pouvons alors définir une différence de pression ps(x, t) entre les deux faces de la plaque, sous la forme : ps(x, t) = ps(x, y, 0, t) = limz→0 [p +(x, y, z, t) − p −(x, y, −z, t)], z > 0; (1.63) Si nous notons pb,Σ(x, t) la variation de pression pariétale induite par la présence de la couche limite turbulente, au droit de la plaque, nous pouvons écrire l’équation de Kirchhoff pour une plaque mince, l’équation de propagation des ondes, les conditions aux limites en temps et en espace, ainsi que les différentes équations régissant la dynamique du problème.