eprésentation des champs cinématiques uniquement

Étape préliminaire à l’itération n + 1

Comme on l’a introduit dans le chapitre de présentation de la méthode LATIN, l’ob-jectif de l’étape préliminaire est de générer à moindre frais une nouvelle solution de Ad, en ne recalculant que de meilleures fonctions du temps et donc sans ajouter de nouveaux couples correctifs. Cette procédure de réutilisation des champs spatiaux est similaire à celle qui consiste à réutiliser les sous-espaces de Krylov afin d’accélérer la convergence dans les méthodes de Newton-Krylov (cf. par exemple [Saa00]).
L’étape préliminaire prend place entre l’étape locale et l’étape linéaire : connais-sant une solution sˆn+1/2 de Γ, on détermine une meilleure solution s¯n+1 en optimisant seulement la valeur des fonctions du temps. On peut ensuite chercher une nouvelle solution sn+1 dans Ad en ajoutant de nouveaux couples grâce à une étape linéaire (cf. Figure 3.2). Le cas échéant, il est nécessaire de recalculer les quantités Aˆ, ˆ et ˆ à β α partir de s¯n+1 et non de sn .

Résultats et comparaisons

Coût des calculs

On reprend le problème de consolidation de la section 4.1 du chapitre 2, mais en utilisant cette fois la technique de représentation ½P3 qui vient d’être décrite.
Dans un premier temps, les étapes préliminaires sont toujours suivies d’étapes li-néaires. En d’autres termes, un champ de l’espace solide et un champ de l’espace fluide sont ajoutés à chaque itération. Le nombre de sous-itérations du point fixe est en outre fixé à 1 dans chacune des étapes linéaires. Dans ce cas, un seul problème global solide et un seul problème global fluide doivent être résolus à chaque itération. Les mêmes di-rections de recherche que dans la section 4.1 du chapitre 2 sont utilisées : tm = 0.015tc et th = 0.030tc .
La Figure 3.3 permet de comparer l’évolution des erreurs (ES , EF ) et des indica-teurs d’erreur (eS , eF ) lorsque la technique de représentation est utilisée ou non. On peut constater que l’approximation des quantités cinématiques admissibles ne modi-fie que très peu le taux de convergence et donc que cette représentation sous forme de chargements radiaux est bien adaptée à ce type de problème.
Dans un second temps, la technique de saut de l’étape linéaire est utilisée. Si l’étape préliminaire a permis de réduire l’erreur de manière significative, la génération d’un nouveau champ de l’espace est omise, évitant ainsi la résolution d’un système global en espace.
La Figure 3.4 représente l’évolution de l’erreur η au cours des itérations pour diffé-rentes valeurs du critère de saut ζ. Il est clair que, du point de vue du nombre d’itéra-tions, le choix d’une valeur peu restrictive du critère dégrade le taux de convergence. Si on regarde maintenant l’efficacité, les coûts de la résolution d’un problème global solide ou fluide n’étant pas les mêmes, la Figure 3.5 représente l’évolution de l’erreur en fonction du nombre de champs solides nS et fluide nF générés et pour différentes valeurs de ζ.
Dans le cas le plus intéressant, i.e. ζ = 0, 8, l’obtention d’une erreur η de 1% (nit = 27) ne nécessite que nS = 8 résolutions globales solides et nF = 16 fluides. Lorsque ζ = 0, i.e. lorsqu’un couple solide et un couple fluide sont ajoutés à chaque itération, ce ni-veau d’erreur (nit = 18) nécessite nS = nF = 18 résolutions globales pour chaque phy-sique. Rappelons que si la technique de représentation n’avait pas été utilisée, il aurait fallu nS = nF = nit×nT = 18×120 résolutions pour chaque physique. Enfin, pour l’ISPP avec ω = 0, 5, ce calcul nécessite nS = nF = nsub×nT = 9×120 résolutions pour chaque physique. Le Tableau 3.1 regroupe tous ces résultats. Ainsi, en terme de nombre de ré-solutions globales, il y a un ratio de 90 entre le coût de la version ½P3 et celui de la 0P3 et un ratio de 45 entre le coût de la version ½P3 et celui de l’ISPP.
Ce test concerne le comportement des différentes approches vis-à-vis de la valeur du coefficient de couplage b. Pour cela, on compare les coûts nécessaires pour at-teindre une erreur η de 1%. Le Tableau 3.2 regroupe le nombre de sous-itérations nsub de l’ISPP (avec ω = 0, 5) et les nombres de résolutions globales (nS , nF ) pour la méthode LATIN (avec les mêmes directions de recherche que précédemment). Le coût de l’ISPP augmente nettement avec le couplage, ce qui n’est pas le cas pour la stratégie LATIN ½P3 lorsque ζ = 0.

Influence de la complexité du chargement

On étudie maintenant le comportement des différentes approches vis-à-vis de la complexité en temps du chargement [Dur03b]. Le cas test est le problème à flux imposé de la Figure 3.6, qui est traité pour trois chargement différents (le nombre de pas de temps nT vaut successivement 60, 120, 180 et le chargement est de plus en plus com-plexe). Les directions de recherche sont à nouveau celles de la section 4.1 du chapitre 2 et la procédure de saut des étapes linéaires n’est pas activée (ζ = 0). Le Tableau 3.3 regroupe les résultats obtenus en terme de nombre de résolutions globales nécessaires pour obtenir une erreur η de 1%.