Enjeux scientifiques soulevés par les plaques épaisses

Bien qu’extrêmement répandus dans les sciences de l’ingénieur, les modèles de plaque sou- lèvent encore aujourd’hui des difficultés scientifiques. Dans ce chapitre introductif, on présente tout d’abord en Section 1.1 le modèle naturel de plaque qui prend en compte les efforts membranaires, les moments de flexion et l’effort tranchant. Bien que ce modèle présente un formalisme intuitif pour le fonctionnement des plaques, il ne donne pas la loi de comportement associée. En supposant de plus que la plaque est mince, le modèle naturel peut être simplifié et devient le modèle de Love- Kirchhoff (Section 1.2). Le modèle de Love-Kirchhoff possède une assise théorique forte et permet le calcul d’une loi de comportement mais ne prend pas en compte les effets de l’effort tranchant dans la plaque. De nombreux travaux ont tenté de prendre en compte ces effets dans le modèle naturel mais ils font face à une difficulté fondamentale présentée en Section 1.3.ij exactes et lo- calisées. Parce qu’un modèle tridimensionnel est coûteux à calculer et que la plaque est élancée (L/h grand), on souhaite assimiler celle-ci à un plan déformable. Une façon naturelle de le faire consiste à intégrer dans l’épaisseur les contraintes. Ces calculs sont détaillés dans l’Annexe A.1. Ils mènent directement aux efforts réduits .

où p = (pα) sont les chargements membranaires, p3 est le chargement transverse et µ = (µα) sont des couples par unité de surface. Ces équations d’équilibre sont très connues et ont été démontrées de nombreuses manières différentes. On peut se référer à Boussinesq (1871), Reissner (1945) et Mindlin (1951) pour ne citer qu’eux.Pour obtenir un modèle de plaque complet, outre les habituelles conditions aux limites, il est crucial de donner la loi de comportement qui lie les efforts de plaque aux déformations. Dans le cadre de l’élasticité linéaire, cela revient à définir une fonction quadratique des déformations w (eLa façon la plus naturelle de construire la loi de comportement consiste à trouver le champ de locali- sation associé aux variables généralisées. On appelle la localisation, une approximation des champs tridimensionnels exacts linéairement dépendante des variables de plaque, (eD il existe des méthodes bien fondées et présentées dans la section qui suit. En ce qui concerne la raideur à l’effort tranchant, il existe encore de nombreuses difficultés présentées en Section 1.3.

Les plaques minces

On parle d’une plaque mince, lorsque la flèche U3 générée par les déformations de cisaille-ment γα reste négligeable devant la flèche générée par la courbure de la plaque χαβ. Dans le cas d’une plaque homogène isotrope, la part de cisaillement dans la flèche est directement reliée à l’élancement L/h. Plus précisément, la flèche de cisaillement rapportée à la flèche de flexion est proportionnelleoù E est le module d’Young et G le module de cisaillement du matériau. Ainsi la flèche de cisaillement est inversement proportionnelle au carré de l’élancement, ce qui en fait dans le cas des plaques homogènes isotropes un phénomène vraiment négligeable et explique la définition de plaque mince. D’une manière plus générale, on obtient une théorie de plaque mince en faisant directement l’hypothèse de Love-Kirchhoff dans le modèle naturel : γα = 0. Ce type de modèle sera nommé par la suite plaque de Love-Kirchhoff.

De nombreux travaux ont été effectués dans ce cadre d’hypothèse et ont été vérifiés expéri- mentalement. Leur point de départ sont les travaux de Kirchhoff puis Love (1888) dans le cas d’une plaque homogène. Ils ont été étendus aux plaques stratifiées par Reissner and Stavsky (1961), Whit- ney and Leissa (1969) et Whitney (1969a) (voir l’Encadré 1.1 sur les différents types de plaque). Une justification rigoureuse a été proposée par Ciarlet and Destuynder (1979). Enfin, une méthode générale pour homogénéiser des plaques périodiques dans le plan et de forme quelconque a été pro- posée par Caillerie (1984) puis par Kohn and Vogelius (1984). Tous ces travaux reposent sur une hypothèse fondamentale de localisation : la partie plane du champ de déformation tridimensionnel est directement proportionnelle (en moyenne pour les plaques périodiques) aux variables de défor- mation généralisée de Love-Kirchhoff,