ELEMENTS DE LA REPRESENTATION DUALE

Le mathématicien William Kingdon Clifford (1845-1S79) a introduit une idée très originale sur la théorie des « moteurs »1 qui réside dans l’utilisation d’un certain opérateur t qui permet d’exprimer symboliquement un « moteur » (M, Mo) sous forme d’un vecteur spécial2: M + e MQ OÙ C’est ainsi, à la suite des travaux de W.K. Clifford [[CLI-873] & [CLI-878]], que l’existence d’un tel opérateur a été implicitement acceptée. Plus tard, en se basant sur les travaux de Bail et Zanchevskiy sur la théorie des vis et de ceux de Kotelñikov sur l’application des nombres duaux à la théorie des vecteurs, F.M. Dimentberg a proposé une large application du calcul dual sur les vis pour le traitement des problèmes de cinématique [F.M, Dimentberg [DIME-65]]. Dans de récents travaux, plusieurs auteurs [K. Sugimoto & J. Duffy [SUG-82aj, G.R. Veldkamp [VELD-82], A.K. Pradeep, P.J. Yoder & R. Mukundan [PRAD-89], D. Chevallier [CHEV-91]] ont proposé des présentations modernes des applications de tels nombres en cinématique. Dans le chapitre présent, nous allons introduire la notion de nombres duaux comme un outil mathématique. Nous nous attacherons à mettre de la rigueur mathématique dans notre exposé afin de ressortir les idées réelles qui existent derrière l’utilisation des nombres duaux. Avec cet outil, nous allons construire un certain nombre de structures algébriques adjacentes et établir nombre basés sur les nombres duaux n’est pas une simple généralisation3 du calcul sur ces mêmes notions dans R. Il s’agit en fait de travailler dans de nouvelles structures algébriques qui n’ont plus les mêmes propriétés que les structures algébriques correspondantes sur R. En effet, même si les axiomes d’un module sont identiques à ceux d’un espace vectoriel, au changement près du corps de base en un anneau, et même si les principales définitions d’algèbre linéaire sont valables dans les modules, les propriétés algébriques d’un module peuvent différer substantiellement de celles d’un espace vectoriel. En particulier, des propriétés intuitives de la géométrie ou de l’existence d’une norme peuvent être en défaut dans un module. Et manque d’une justification mathématique rigoureuse des résultats, on ne peut affirmer avec certitude la validité des modèles généralisés.

On a l’habitude d’utiliser un support géométrique pour représenter intuitivement la notion de produit cartésien. Cependant, bien que cet approche soit assez commode pour se faire une idée intuitive, il ne faut pas trop s’y fier pour les démonstrations mathématiques. Ainsi, il peut arriver que l’on rencontre dans la littérature le terme de points du plan A. A chaque point sont associées deux coordonnées et, de ce point de vue, les parties réelle et duale d’un nombre dual sont respectivement les projections sur les axes de la première et la seconde coordonnée du point du plan qui représente ce nombre. Ainsi, la valeur A sera dite: dérivée de la fonction de variable duale / au point x. Plus généralement, une fonction / de variable duale sera dite À-différentiable sur un domaine D (C A) lorsqu’elle est A-différentiable en tout point de D. Dans ces conditions, la fonction f : x *-* A(x), ainsi définie, sera dite fonction dérivée de la fonction /. Actuellement, le module dualstruc .map [Chapitre 7] compte un grand nombre de nouvelles fonctions, entière­ ment implémentées, dans le langage Maple (construction symbolique des nombres duaux, parties réelle et duale d’expressions duales, diverses types de simplifications sur tout genre d’expressions duales, …etc) poui la manipula­ tion symbolique des objets et structures algébriques duaux (fonctions de variables duale, construction automatique des prolongements canoniques, vecteurs duaux, matrices duales, …etc). Dans la fenêtre (Maple V Release 2) de la figure ci-dessus, on présente une session de travail sur Maple où l’on expérimente certaines fonctions développées dans le module daalstruc .map.